数论 又是毕业季I 又是毕业季II

本文探讨了两道关于毕业晚会默契程度计算的编程题。第一题通过优化算法快速找到最大公约数,第二题则深入分析了如何高效计算多个数的最大公约数,提供了完整的代码实现和思路解析。

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又是毕业季I

题目简化

为了把毕业晚会办得更好,老师想要挑出默契程度最大的 k 个人参与毕业晚会彩排。可是如何挑呢?老师列出全班同学的号数 1,2,…,n 并且相信 k 个人的默契程度便是他们的最大公约数(这不是迷信哦~)。这可难为了他,请你帮帮忙吧!
输入格式:

两个空格分开的正整数n和k。(n>=k>=1)k<=1e9,n<=1e9
输出格式:

一个整数,为最大的默契值。

Input
4 2
Output
2

思路

一开始很容易想到枚举n个数取k个的所有组合,然后分别用辗转相除法求最大公约数,但是复杂度明显不符合要求,于是必须换一种思路。

先设最大公约数为x,x*1 ,x*2 ...... x*k,即x的1~k倍,但必须保证x*k<=n,所以x<=n/k,又因为x为整数,所以x<=[n/k](取整)

参考题解

首先,若可能的最大公约数为a,取出的k个数为X1,X2,……,Xk且满足X1<X2< …… <Xk,那么有X1>=a,X2>=2a,……,Xk>=ka。又∵Xk<=n,∴n>=ka,∴a<=n/k,又∵a为整数,∴a<=[n/k]([]为取整符号)。

另一方面,我们取[n/k],2*[n/k],……,k*[n/k],它们的最大公约数a=[n/k],且它们都小于等于n大于等于1,且互不相等,满足条件。

∴答案即为[n/k]。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k;
int main()
{
    cin>>n>>k;
    cout<<n/k;
    return 0;
}

又是毕业季II

题目描述

彩排了一次,老师不太满意。当然啦,取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为,从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度(即能力值的最大公约数)最大。但因为节目太多了,而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了,还是交给你吧~

PS:一个数的最大公约数即本身。

输入格式

第一行一个正整数n。n<=10000,inf<=1e6

第二行为n个空格隔开的正整数,表示每个学生的能力值。

输出格式

总共n行,第i行为k=i情况下的最大默契程度。

Input
4
1 2 3 4
Output
4
2
1
1

题解

题解链接

我们想到k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数,如果我们把所有数的因数全部求出来,发现有k个数均含有某个因数,那么这个数必然是这k个数的公约数

其中找出最大的就是它们的最大公约数。但是要如何高效的做到这点呢?

考虑到对于k=1,2……,n都要求出,我们可以这么做:

  1. 求出每个因数出现的次数
  2. 对于每个次数记录最大的因数
  3. 记录能力最大值之后用while语句将其不断减小(因为k=1时显然最大公约数为最大能力值,之后的公约数显然小于等于前一个数)
// 空间复杂度O(n*sqrt(maxn))
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,maxn,x,cnt[1000010];
int main()
{
	cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
		cin>>x;
        maxn=max(maxn,x);//maxn来记录输入数中的最大值
        int k=sqrt(x);
        for(int j=1;j<=k;++j)//记录每个因数出现的次数
            if(x%j==0)
            {
                cnt[j]++;
				//有可能是2*2=4,只记录一次
                if(j*j!=x)cnt[x/j]++;//否则如2*3=6,则两个都记录
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(cnt[maxn]<i)maxn--;//记录能力最大值之后用while语句将其不断减小
		cout<<maxn<<"\n";
    }
}

代码思路,编辑格式不易,大家觉得还可以可以点赞、收藏、关注一下吧!
也可以到我的个人博客参观一下,https://motongxue.gitee.io

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