又是毕业季I
题目简化
为了把毕业晚会办得更好,老师想要挑出默契程度最大的 k 个人参与毕业晚会彩排。可是如何挑呢?老师列出全班同学的号数 1,2,…,n 并且相信 k 个人的默契程度便是他们的最大公约数(这不是迷信哦~)。这可难为了他,请你帮帮忙吧!
输入格式:
两个空格分开的正整数n和k。(n>=k>=1)k<=1e9,n<=1e9
输出格式:
一个整数,为最大的默契值。
Input
4 2
Output
2
思路
一开始很容易想到枚举n个数取k个的所有组合,然后分别用辗转相除法求最大公约数,但是复杂度明显不符合要求,于是必须换一种思路。
先设最大公约数为x,x*1 ,x*2 ...... x*k
,即x的1~k倍,但必须保证x*k<=n
,所以x<=n/k
,又因为x为整数,所以x<=[n/k](取整)
首先,若可能的最大公约数为a,取出的k个数为X1,X2,……,Xk且满足
X1<X2< …… <Xk
,那么有X1>=a,X2>=2a,……,Xk>=ka
。又∵Xk<=n,∴n>=ka,∴a<=n/k,又∵a为整数,∴a<=[n/k]([]为取整符号)。另一方面,我们取[n/k],2*[n/k],……,k*[n/k],它们的最大公约数a=[n/k],且它们都小于等于n大于等于1,且互不相等,满足条件。
∴答案即为[n/k]。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k;
int main()
{
cin>>n>>k;
cout<<n/k;
return 0;
}
又是毕业季II
题目描述
彩排了一次,老师不太满意。当然啦,取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为,从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度(即能力值的最大公约数)最大。但因为节目太多了,而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了,还是交给你吧~
PS:一个数的最大公约数即本身。
输入格式
第一行一个正整数n。n<=10000,inf<=1e6
第二行为n个空格隔开的正整数,表示每个学生的能力值。
输出格式
总共n行,第i行为k=i情况下的最大默契程度。
Input
4
1 2 3 4
Output
4
2
1
1
题解
我们想到k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数,如果我们把所有数的因数全部求出来,发现有k个数均含有某个因数,那么这个数必然是这k个数的公约数
其中找出最大的就是它们的最大公约数。但是要如何高效的做到这点呢?
考虑到对于k=1,2……,n都要求出,我们可以这么做:
- 求出每个因数出现的次数
- 对于每个次数记录最大的因数
- 记录能力最大值之后用while语句将其不断减小(因为k=1时显然最大公约数为最大能力值,之后的公约数显然小于等于前一个数)
// 空间复杂度O(n*sqrt(maxn))
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,maxn,x,cnt[1000010];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>x;
maxn=max(maxn,x);//maxn来记录输入数中的最大值
int k=sqrt(x);
for(int j=1;j<=k;++j)//记录每个因数出现的次数
if(x%j==0)
{
cnt[j]++;
//有可能是2*2=4,只记录一次
if(j*j!=x)cnt[x/j]++;//否则如2*3=6,则两个都记录
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(cnt[maxn]<i)maxn--;//记录能力最大值之后用while语句将其不断减小
cout<<maxn<<"\n";
}
}
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