数论 又是毕业季I 又是毕业季II

又是毕业季I

题目简化

为了把毕业晚会办得更好，老师想要挑出默契程度最大的 k 个人参与毕业晚会彩排。可是如何挑呢？老师列出全班同学的号数 1,2,…,n 并且相信 k 个人的默契程度便是他们的最大公约数（这不是迷信哦~）。这可难为了他，请你帮帮忙吧！
输入格式：

两个空格分开的正整数n和k。（n>=k>=1）k<=1e9,n<=1e9
输出格式：

一个整数，为最大的默契值。

Input
4 2
Output
2

思路

一开始很容易想到枚举n个数取k个的所有组合，然后分别用辗转相除法求最大公约数，但是复杂度明显不符合要求，于是必须换一种思路。

先设最大公约数为x，x*1 ,x*2 ...... x*k，即x的1~k倍，但必须保证x*k<=n，所以x<=n/k，又因为x为整数，所以x<=[n/k]（取整)

参考题解

首先，若可能的最大公约数为a，取出的k个数为X1，X2，……，Xk且满足X1<X2< …… <Xk，那么有X1>=a，X2>=2a，……，Xk>=ka。又∵Xk<=n，∴n>=ka，∴a<=n/k，又∵a为整数，∴a<=[n/k]（[]为取整符号）。

另一方面，我们取[n/k]，2*[n/k]，……，k*[n/k]，它们的最大公约数a=[n/k]，且它们都小于等于n大于等于1，且互不相等，满足条件。

∴答案即为[n/k]。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k;
int main()
{
    cin>>n>>k;
    cout<<n/k;
    return 0;
}

又是毕业季II

题目描述

彩排了一次，老师不太满意。当然啦，取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为，从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大。但因为节目太多了，而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了，还是交给你吧~

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入格式

第一行一个正整数n。n<=10000，inf<=1e6

第二行为n个空格隔开的正整数，表示每个学生的能力值。

输出格式

总共n行，第i行为k=i情况下的最大默契程度。

Input
4
1 2 3 4
Output
4
2
1
1

题解

题解链接

我们想到k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数，如果我们把所有数的因数全部求出来，发现有k个数均含有某个因数，那么这个数必然是这k个数的公约数

其中找出最大的就是它们的最大公约数。但是要如何高效的做到这点呢？

考虑到对于k=1，2……，n都要求出，我们可以这么做：

1. 求出每个因数出现的次数
2. 对于每个次数记录最大的因数
3. 记录能力最大值之后用while语句将其不断减小（因为k=1时显然最大公约数为最大能力值，之后的公约数显然小于等于前一个数）

// 空间复杂度O(n*sqrt(maxn))
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,maxn,x,cnt[1000010];
int main()
{
	cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
		cin>>x;
        maxn=max(maxn,x);//maxn来记录输入数中的最大值
        int k=sqrt(x);
        for(int j=1;j<=k;++j)//记录每个因数出现的次数
            if(x%j==0)
            {
                cnt[j]++;
				//有可能是2*2=4,只记录一次
                if(j*j!=x)cnt[x/j]++;//否则如2*3=6，则两个都记录
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(cnt[maxn]<i)maxn--;//记录能力最大值之后用while语句将其不断减小
		cout<<maxn<<"\n";
    }
}

---

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