[YZOJ]P2980[校内训练20170328]周期性字符串计数问题

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......莫比乌斯反演

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该博客探讨了如何解决周期性字符串计数问题，即给定长度n，求有多少个长度为n且由小写字母组成的周期性字符串。文章提到了使用乘法原理快速计算所有字符串总数，并通过莫比乌斯反演来确定非周期性字符串的数量，以求得周期性字符串的总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

★问题描述：
对于长度为n、由小写字母组成的（不一定要用所有字母）字符串s，如果存在一个字符串t，t≠s，使得s可以由t重复若干次得到，那么我们称s具有周期性。

周期性字符串计数问题是指对于给定的n，求有多少个长度为n的周期性字符串。注意串中只包含26个小写字母。

★编程任务：
输入正整数n，试设计一个算法，计算长度为n的字符串中，具有周期性的字符串一共有多少个。

题解
设g[n]表示长度为n的字符串总数。
设f[n]表示周期为n的非周期性字符串总数。

则 $g_n=\sum_{d|n}f_d$
求解目标： $\sum_{d|n,d<n}f_d$ 即 g[n]-f[n] 。

g[n]乘法原理O(1)可解。
f[n]用莫比乌斯反演搞一搞。
其实化简一下g[n]都不要求。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define R register
#define ll long long
#define mod 1000000007

#ifdef WIN32
    #define LL "%I64d"
#else
    #define LL "%lld"
#endif

using namespace std;
ll N,pr[1000000];

ll pow(ll k)
{
    ll base=26,ans=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod,k>>=1;
    }
    return ans;
}

int miu(ll k)
{
    int end=(int)sqrt(k),cnt,ans=1;
    for(int i=2;i<=end;i++)if(k%i==0)
    {
        cnt=0;
        while(k%i==0)cnt++,k/=i;
        if(cnt>1)return 0;
        else ans=-ans;
    }
    if(k>1)ans=-ans;
    return ans;
}

int main()
{
    R int end,pt=0,i;
    R ll sum;
    scanf(LL,&N);end=(int)sqrt(N);
    for(i=1;i<=end;++i)if(N%i==0)
    {
        pr[pt++]=i;
        if((ll)i*i!=N&&i!=1)pr[pt++]=N/i;
    }
    for(sum=0,i=0;i<pt;++i)
    {
        sum=(sum+(mod-pow(pr[i])*(ll)miu(N/pr[i])))%mod;
    }
    printf(LL,sum);
    return 0;
}