本文深入解析背包问题的不同类型，包括01背包、完全背包、多重背包等，提供算法思路与优化方法，附带模板代码和练习题，适合算法学习者。
该篇文章从网络搜刮的+自己的理解；
自己在学。
本文主要参考资料——传送门
练习题：
零钱兑换322
第一讲 01背包问题
这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。
第二讲 完全背包问题
第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。
第三讲 多重背包问题每种物品有一个固定的次数上限。
第四讲 混合三种背包问题将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
第五讲 二维费用的背包问题一个简单的常见扩展。
第六讲 分组的背包问题一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。
第七讲 有依赖的背包问题另一种给物品的选取加上限制的方法。
第八讲 泛化物品 第九讲 背包问题问法的变化试图触类旁通、举一反三。
附录一：USACO中的背包问题给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。 附录二：背包问题的搜索解法
除动态规划外另一种背包问题的解法。
文章目录
1. 01背包问题
1.1 问题描述
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
1.2 基本思路
-
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 -
动规
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。
这个地方可以参考 背包九讲——全篇详细理解与代码实现
该方法的时间复杂度为O(N*V)
具体的原理就不在这里介绍，这里主要用来整理归纳实现方法；
- 未优化代码
//假定 物品数量为N(Num简写 方便记忆),背包容量为V(Volumn简写)
//假定 第i个物品重量和价值分别为 W[i](Weight简写)、C[i](Cost简写)
//初始化
vector< vector<int> > dp(n,vector<int>(V,0)); //所有值初始化为0
//int dp[1000][1000] = 0;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=V;j++)
{
//如果第i个物品 不选的话，前i个商品放入容积为j最大价值 与 前i-1个商品放入背包中的价值一样；
//此时背包应该没有约束 容量为j
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j>=W[i])//如果当前容量 还够用 则可以选择第i个物品
{
//选的话，在前i-1个商品时，背包容量需要为[j-W[i]];
//此时的f[i][j]在上面已经赋值了f[i-1][j]
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-W[i]]+C[i]);
}
}
}
更新顺序图例：
刷表的时候顺序：
前1个物品放入0的背包时最大价值
前1个物品放入1的背包时最大价值
前1个物品放入2的背包时最大价值
… … … . …
前1个物品放入V的背包时最大价值
|
前2个物品放入1的背包时最大价值
前2个物品放入2的背包时最大价值
前2个物品放入V的背包时最大价值
|
前3个物品放入1的背包时最大价值
前3个物品放入2的背包时最大价值
前3个物品放入V的背包时最大价值
|
前N个物品放入1的背包时最大价值
前N个物品放入2的背包时最大价值
前N个物品放入V的背包时最大价值
- 优化后的代码
//初始化
//全局变量定义在堆里面，堆里面的值会被初始化为0
int dp[1000][1000]={0};
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=V;j>=0;j--)
{
f[j] = max(f[j],f[j-W[i]]+C[i]);
}
}
1.3 初始化问题
最优解背包问题中，存在两种问法
- 有的题目要求"恰好装满背包"时的最优解
- 有的题目则并没有要求必须把背包装满
这两种问法的区别是在初始化的时候有所不同。
- 如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1…V]均设为−∞，这样就可以保证最终得到的f[N]f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
- 如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0…V]全部设为0。
可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是−∞了。
如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
1.4 模板代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N], dp[N];//dp[N][N]
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
// for(int j = 0; j <= m; j++){
// if(j < v[i])
// dp[i][j] = dp[i-1][j];
// else
// dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
// }
for(int j = m; j >=v[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[m]<<endl;;
return 0;
}
2 完全背包问题
2.1 题目描述
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。每件物品数量不限，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2.2 基本思路
该方法就是将01背包的j、循环正序写就行；
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N], dp[N];//dp[N][N]
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
// for(int j = 0; j <= m; j++){
// if(j < v[i])
// dp[i][j] = dp[i-1][j];
// else
// dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
// }
for(int j = m; j >=v[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[m]<<endl;;
return 0;
}
类比01背包问题；状态转移方程：
- 简单小优化
但是上面需要循环三类；
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=M;j++)
for(int ii = 1;ii<=k;ii++)
//write code here
复杂度就非常高了；
将完全背包问题转换为01背包问题求解
如上图所示，但是并没有改变时间复杂度
二进制转化方法:
3 多重背包问题
3.1 问题描述
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。第i件物品共有n[i]件可用，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
3.2 基本思路
3.3 拆分代码
3.4 模板代码
普通代码:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<int> f(m+1,0);
int v,w,s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>v>>w>>s;
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int ii = 0;ii<=s;ii++)
{
if(j>=ii*v)
f[j] = max(f[j],f[j-ii*v]+ii*w);
}
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
二进制优化代码：
#include<iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<int> datav,dataw;
int vv,ww,ss;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>vv>>ww>>ss;
for(int ii = 1;ii<ss;ii*=2)
{
datav.push_back(ii*vv);
dataw.push_back(ii*ww);
ss-=ii;
}
if(ss>0)
{
datav.push_back(ss*vv);
dataw.push_back(ss*ww);
}
}
vector<int> f(m+1,0);
for(int i=0;i<datav.size();i++) // the num of goods should be updated
{
for(int j=m;j>=datav[i];j--)
{
f[j] = max(f[j],f[j-datav[i]]+dataw[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
4. 混合背包问题
分组就行；
4.1 模板代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<int> f(m+1,0);
vector<int> v,w,s;
int tempv,tempw,temps;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>tempv>>tempw>>temps;
if(temps == -1)
{
s.push_back(1);
v.push_back(tempv);
w.push_back(tempw);
}
else if(temps>0)
{
for(int ii = 1;ii<=temps;ii*=2)
{
s.push_back(ii);
v.push_back(tempv*ii);
w.push_back(tempw*ii);
temps-=ii;
}
if(temps>0)
{
s.push_back(temps);
v.push_back(tempv*temps);
w.push_back(tempw*temps);
}
}else
s.push_back(temps),v.push_back(tempv),
w.push_back(tempw);
}
for(int i=1;i<=s.size();i++)
{
if(s[i-1] ==0) //完全背包
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(j>=v[i-1])
f[j]=max(f[j],f[j-v[i-1]]+w[i-1]);
}
}else //01
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
if(j>=v[i-1])
f[j] = max(f[j],f[j-v[i-1]]+w[i-1]);
}
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
5. 二维背包问题
多一层循环就行
5.1 模板代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,m,M;
cin>>n>>m>>M;
int v,w,c;
vector<vector<int> > f(m+1,vector<int>(M+1,0));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>v>>w>>c;
for(int j=m;j>=v;j--)
{
for(int k = M;k>=w;k--)
{
f[j][k] = max(f[j][k],f[j-v][k-w]+c);
}
}
}
cout<<f[m][M]<<endl;
return 0;
}
10. 求方案总数的问题
dd大佬的讲解中最后也有介绍；下面是个截图
for i=1..N
for v=0..V
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
g[i][v]=0
if(f[i][v]==f[i-1][v])
inc(g[i][v],g[i-1][v]
if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])
inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])
伪代码：
F[0][] ← 0
F[][0] ← 0
G[][ ] ← 1
for i ← 1 to N
do for j ← 1 to V
F[i][j] ← F[i-1][j]
G[i][j] ← G[i-1][j]
if (j >= C[i])
if (F[i][j] < F[i][j-C[i]]+W[i])
then F[i][j] ← F[i][j-C[i]]+W[i]
G[i][j] ← G[i][j-C[i]]
else if (F[i][j] = F[i][j-C[i]]+W[i])
then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i][j-C[i]]
return F[N][V] and G[N][V]
F[0][0] ← 1
for i ← 1 to N
do for j ← 0 to V
if (j < C[i])
then F[i][j] ← F[i-1][j]
else
F[i][j] ← F[i-1][j]+F[i][j-C[i]]
return F[N][V]
模板代码
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=v[i];j<=V;j++)
dp[j]=dp[j]+dp[j-v[i]];
}
1000. 另外穿插一个找零钱问题
1000.1 题目简介
一般找零钱和背包问题很像；
输入：总钱数，和拥有的金币种类（1元，2元，5元，10元，20元等）；
输出：需要的最少硬币数
扩展：
每种硬币只能取一类；
每种硬币可以无限取；
每种硬币有上限（s[i]）
有的硬币可以无限取，有个硬币只有一个和多个；
1000.2 基本思路
乍一看和背包问题是一模一样。零钱的背包容量V 就是 金币总数
每种物品的体积v 就是他的面额；需要注意的就是：只能是恰好装满
所需要统计的就是硬币数量因此 f[i] = max(f[i],f[i-v]+1);
具体分析：
定义f[ i ] [ j ] 为第i个硬币恰好装满amount数量的总额
则分为 选 和 不选
选 : f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]+1;
不选： f[i][j] = f[i-1][j];
所以讲道理来说；代码应该和背包问题差不多;
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
if(coins.size()==0||amount ==0)
return 0;
vector<int> f(amount+1,99999);
f[0] = 0;
for(int i=0;i<coins.size();i++)
{
for(int j=1;j<=amount;j++)
{
if(j>=coins[i])
f[j] = min(f[j],f[j-coins[i]]+1);
}
}
if(f[amount]==99999)
return -1;
return f[amount];
}
};
1000.3 华为多维找零钱问题0715
//华为笔试题0715
int main()
{
vector<int> coins = {1, 3, 7, 11, 13};
vector<int> nums = {1,2,3,4,5};
int m = 30;
//多维背包问题 --- 二进制优化
vector<int> v, w;
for (int i = 0; i <= coins.size(); i++)
{
for (int k = 1; k <= nums[i];k*=2)
{
v.push_back(k * coins[i]);
w.push_back(k); //个数也要统计
nums[i] -= k;
}
if(nums[i]>0)
{
v.push_back(nums[i] * coins[i]);
w.push_back(nums[i]);
}
}
vector<int> f(m + 1, 9999);
f[0] = 0;
for (int i = 0; i < v.size();i++)
{
for (int j = m; j >= v[i];j--)
{
f[j] = min(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
if(f[m] == 9999)
cout << -1 << endl;
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
本文参考资料：
1.单调队列优化多重背包问题
2.各种背包问题
3.背包九江
4.背包玖讲
5.背包九江
6.单队列优化多重背包
7. 背包9讲
8. 9讲
9. dd大佬九江
10.哔哩哔哩教学视频
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