法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier于1768年出生于Auxerre镇，该镇位于Paris和Dijon的中间。他最为人铭记的贡献概括于1807年的一本回忆录中，并于1822年出版于他的著作《热的解析理论》(La Théorie Analitique de la Chaleur)中。55年后，Freeman将这本书翻译成了英文(参见Freeman [1878])。Fourier在这一领域的贡献主要在于：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和，每一个正弦和/或余弦乘以不同的系数(我们现在称此和为Fourier级数)。无论函数多么复杂，只要它是周期性的，并且满足某些温和的数学条件，就可以用这样的和来表示。如今，这已被视为理所当然，但在它首次出现时，将复杂函数表示为简单正弦和余弦之和这一概念，根本不符合直觉(见图 4.1)。因此，Fourier的思想最初遭到质疑也就不足为奇了。

-------------------------------------图 4.1：底部的函数是其上方四个函数的和。Fourier在1807年提出了一个想法，即周期函数可以表示为正弦函数和余弦函数的加权和，这一想法遭到了质疑。-------------------------------------------------

非周期函数(但其曲线下面积有限)可以表示为正弦和/或余弦乘以权重函数的积分。在这种情况下，其公式是Fourier变换，在许多理论和应用学科中，它的效用甚至比Fourier级数更大。这两种表示法都具有一个重要的共同特征：用Fourier级数或Fourier变换表示的函数可以通过逆过程完全重构(恢复)，而不会丢失任何信息。这是这些表示法最重要的特征之一，因为它使我们能够在Fourier域(通常称为频域)中工作，然后返回到函数的原始域而不会丢失任何信息。最终，正是Fourier级数和Fourier变换在解决实际问题中的实用性，使它们被广泛研究并用作基本工具。

Fourier思想的最初应用是在热扩散领域，它使得表示热流的微分方程的建立成为可能，并首次获得了解。在过去的一个世纪里，尤其是过去60年里，Fourier的最初思想推动了整个行业和学科的蓬勃发展。数字计算机的出现和20世纪60年代初快速Fourier变换(FFT)算法的“发现”彻底改变了信号处理领域。这两项核心技术首次使得一系列极其重要的信号得以实际处理，从医疗监视器和扫描仪到现代电子通信。

正如你在 3.4 节中了解到的，使用大小为 m × n 个元素的核对一幅M × N图像进行滤波，需要进行MNmn 次运算(乘法和加法)。如果核是可分离的，则运算次数将减少到 MN(m + n)。在4.11节中，你将了解到，在频域中执行等效滤波过程需要进行 $2MN{\log_{2}}MN$ 次运算，其中前面的2是因为我们必须计算一次正向和一次逆向FFT。

为了了解频域滤波与空域滤波的相对计算优势，我们分别考虑大小为 M × M 和 m × m 的方形图像和核。使用 FFT 滤波此类图像相对于使用不可分离核的计算优势(作为核大小的函数)定义为

(4-1) $\begin{array}{rlc} C_{n}(m)&\displaystyle=\frac{M^{2}m^{2}}{2M^{2}{\log_{2}}M^{2}}\\ \\ &\displaystyle=\frac{m^{2}}{4\log_{2}M} \end{array}$

如果核是可分离的，那么优势就变成

(4-2) $\begin{array}{rlc} C_{s}(m)&\displaystyle=\frac{2M^{2}m}{2M^{2}{\log_{2}}M^{2}}\\ \\ &\displaystyle=\frac{m}{2\log_{2}M} \end{array}$

无论哪种情况，当 C(m) > 1 时，FFT 方法具有优势(计算量更少)；否则，空间滤波方法更具有优势。

图 4.2(a) 展示了一幅中等大小( M = 2048 ) 图像的 $C_{n}(m)$ 随 m 变化的曲线图。插图表格更详细地展示了较小核尺寸的图像。可以看出，对于 7 × 7 及更大的核，FFT 更具优势。随着 m 的变化，这种优势迅速增长，当 m = 101 时，优势超过 200，而当 m = 201 时，优势接近 1000。为了让您更好地理解这种优势的含义，假设使用 FFT 滤波一组 2048 × 2048 的图像需要 1 分钟，那么使用大小为 201 × 201 个元素的不可分离核来滤波同一组图像则需要大约 17 个小时。这是一个显著的差异，清楚地表明了使用 FFT 进行频域处理的重要性。

-----------------------------图 4.2：(a) FFT 相对于不可分离空间核的计算优势。

(b)相对于可分离核的优势。插图中 C(m) 的数值不应乘以曲线所示的 10 倍。--------------------------------------------------------------------------

对于可分离核，计算优势虽然不那么显著，但仍然意义重大。现在的“交叉点”大约在 m = 27 左右，而当 m = 101 时，频域滤波和空域滤波之间的差异仍然可控。然而，您可以看到，当 m = 201 时，使用 FFT 的优势接近 10 倍，这开始变得显著。请注意，在两张图中，FFT 都是大型空间核的绝对首选。

接下来的章节将重点介绍Fourier变换及其性质。随着本章的深入，我们会发现Fourier技术在图像处理领域的广泛应用。本章最后将讨论快速Fourier变换 (FFT)。

4.1.2 关于本章的例子(About the examples in this chapter)

与第3章一样，本章中的大多数图像滤波示例都与图像增强有关。例如，平滑和锐化在传统上与图像增强相关，对比度处理技术也是如此。数字图像处理初学者会发现增强本身就很有趣，而且相对容易理解。因此，在本章中使用图像增强的示例，不仅可以节省本书的额外章节，更重要的是，它是向新手介绍频域滤波技术的有效工具。我们将在第5、7、8、10和11章中将频域处理方法应用于其他应用。

4.2 预备概念(Background Preliminary concepts)

我们先暂停一会儿，介绍后面章节中构成该内容的几个基本概念。

4.2.1 复数(Complex numbers)

一个复数C (Complex)定义为

(4-3) $C = R + jI$

其中，R 和 I 是实数，而 $j=\sqrt{-1}$ 。其中， R表示复数的实部而 I 表示复数的虚部(imaginary part)(译注：虚的，想象的，实际不存在的)，当 I = 0 时，实数是复数的一个子集。一个复数 C 的共轭(conjugate)(用 $C^{*}$ )表示定义为

(4-4) $C^{*} = R - jI$

(译注：共轭结构指的是类似于牛车头部的左右两侧这种结构，在复数结构上，类似于复数和其共轭关于x 轴对称。)

复数在几何学上可以看作是一个平面(称为复平面)上的点，其横坐标为实轴(R 的值)，纵坐标为虚轴(I 的值)。也就是说，复数 R + jI 是复平面坐标系中的点 (R, I ) 。

有时候，将复数用极坐标表示更为实用，即

(4-5) $C = | C |(\cos{\theta}+j\sin{\theta})$

其中， $|C|=\sqrt{R^{2}+I^{2}}$ 是向量的长度，其从复平面的原点延伸至点 (R, I ) ，而 θ 是向量与实轴的夹角。绘制实轴和复轴的图，向量位于第一象限(quadrant)，则 $\tan{\theta} = I/R$ 或 u = arctan(I /R)。arctan 函数返回 [-π/2, π/2] 范围内的角度。但是，由于 I 和 R 可以独立地为正数和负数，因此我们需要能够获取 [-π, π] 范围内的角度。为此，我们在计算和时记录 I 和 R 的符号。许多编程语言通过所谓的四象限反正切函数自动执行此操作。例如，MATLAB 提供了函数 atan2(Imag, Real) 来实现此目的。

利用 Euler 公式

(4-6) $e^{j\theta}=\cos{\theta}+j\sin{\theta}$

(其中 e = 2.71828…),可以将上述极坐标公式改写为

(4-6) $C = | C |e^{j\theta}$

其中 | C | 和 θ 定义同上。例如，复数 C = 1 + j2 的极坐标表示为 $\sqrt{5}e^{j\theta}$ ，其中θ = 63.4°或 1.1 弧度。前面的公式也适用于复函数。一个实变量 u 的复函数 F(u) 可以表示为和 F(u) = R(u) + jI(u)，其中 R(u) 和 I(u) 是函数 F(u) 的实数部分和虚数部分函数。正如前述所述，此函数的复共轭是 $F^{*}(u) = R(u) + jI(u)$ ，大小是 $| F(u) | =\left [R(u)^{2}+I(u)^{2} \right ]^{1/2}$ ，而角度 $\theta(u) = {\arctan}(I(u)/R(u))$ 。在本章和下一章中，我们会多次回顾复函数。

4.2.2 Fourier级数(Fourier series)

如上一节所述，一个周期为T的连续变量t的函数f(t)可以表示为正弦函数与余弦函数之和乘以相应的系数。该和称为Fourier级数，其形式为

(4-8) $\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n} e^{j\frac{2{\pi}n}{T}t}$

其中，

(4-9) $\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j \frac{2{\pi}n}{T}{} t} dt$ ( 对于 n = 0, ±1 ，±1 ，… )

是系数。事实上，公式 (4-8) 是根据 Euler 公式 (4-6) 推导出的正弦和余弦的展式。

4.2.3 脉冲及其筛选属性(Impulses and their sifting properties)

脉冲的概念及其筛选特性是线性系统和Fourier变换研究的核心。连续变量t位于t = 0处的单位脉冲d(t)定义为

(4-10) $\delta(t)=\left \{ \begin{array}{rlc} \infty(\text{if} \;\; t = 0) \\ \\ 0(\text{if}\;\; t \neq 0) \end{array} \right .$

并加以约束使其满足条件

(4-11) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

在物理上，如果我们将 t 解释为时间，脉冲可以被视为一个幅值无穷大、持续时间为零、面积为单位的尖峰。脉冲具有所谓的针对积分的筛选属性，假设函数 f (t) 在 t = 0 处是连续的，这是一个在实用中通常满足的条件，则

(4-12) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0)$

简单的筛选就得到函数 f (t) 在脉冲位置处的值(即在上述公式中 t = 0 处的函数值)。筛选属性更一般的表述涉及任意点 $t_{0}$ 处的脉冲，表示为 $\delta(t - t_{0} )$ 。在这种情况下，在任意点 $t_{0}$ 处的脉冲值为

(4-13) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}ft)\delta(t-t_{0})dt = f(t-t_{0})$

它给出了脉冲位置处的函数值。例如，若 f (t) = cos(t)，则在公式 (4-13) 中使用脉冲 δ(t - π ) 得到结果 f (π ) = cos(π) = -1 ，筛选概念的力量很快就会显现出来。

本节后面特别感兴趣的是脉冲序列 $s_{\Delta t}(t)$ 定义为相距 ΔT 个单位的无穷多个脉冲之和：

(4-14) $\displaystyle s_{\Delta t}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-k{\Delta} T)$

图 4.3(a) 显示了位于 $t = t_{0}$ 时刻的单个脉冲，图 4.3(b) 显示了脉冲序列。连续变量的脉冲用向上的箭头表示，以模拟无限高度和零宽度。对于离散变量，高度是有限的，我们将在下文中展示。

------------------------------图 4.3：(a) 位于 $t = t_{0}$ 处的连续脉冲。(b)由连续脉冲组成的脉冲序列。(c) 位于 $x=x_{0}$ 处的单位离散脉冲。(d)由离散单位脉冲组成的脉冲序列。------------------------------------------------------------------------

令 x 表示离散变量。正如第3章中所述，单位离散脉冲 d(x) 在离散系统中的作用与脉冲 d( t ) 在处理连续变量时的作用相同。它的定义如下

(4-15) $\delta(x)=\left \{ \begin{array}{rlc}1(\text{if} \;\; x = 0) \\ \\ 0(\text{if}\;\; x \neq 0) \end{array} \right .$

显然，该定义满足公式(4-11)的离散等价形式：

(4-16) $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (x)=1$

离散变量的筛选属性具有以下形式

(4-17) $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx = f(0)$

或者更一般地，使用位于 $x = x_{0}$ 处的离散脉冲(参见公式 3-33)

(4-18) $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_{0}) = f(x_{0})$

和前面一样，我们看到筛选属性给出了脉冲所在位置的函数值。图 4.3(c) 以图表形式显示了单位离散脉冲，图 4.3(d) 显示了一系列( a train of )离散单位脉冲。与连续脉冲不同，离散脉冲是一个普通函数(ordinary function)。

4.2.4 单连续变量的Fourier变换(The Fourier transform of functions of one continuous variable)

一个连续变量 t 的连续函数 f (t) 的 Fourier 变换( 用 𝔉{ f (t)} 表示 )定义为公式

(4-19) $\displaystyle \frak{F}\{ f (t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2{\pi}{\mu}t} dt$

其中 μ 也是一个连续变量。(注：Fourier变换的存在性条件通常很难表述(Champeney [1987]），但其存在的一个充分条件是 f (t) 绝对值的积分或 f (t) 平方的积分是有限的。在实践中，存在性很少成为问题，除非是理想化信号，例如无限延伸的正弦波。这些信号可以使用广义脉冲来处理。我们主要关注的是离散Fourier变换对，正如您稍后将看到的那样，它对于所有有限函数都保证存在。) (译注：符号 𝔉 是字母 F 的德文尖角体写法，LaTex 语法为\mathfrak{F} ,Unicode编码为：1D509 。) 因为 t 是积分变量，积分后被积掉了，因此 𝔉{ f (t)} 仅是变量 μ 的函数。即 𝔉{ f (t)} = F(μ)；从而我们将 f (t) 的 Fourier 变换记为

(4-20) $\displaystyle F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2{\pi}{\mu}t} dt$

反之，已知 F ( μ ) ，我们可以使用逆 Fourier 变换回到 f ( t ) ，记为

(4-21) $\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2{\pi}{\mu}t} d\mu$

其中我们利用了在逆变换中 μ 被积分积掉的事实(因为它是积分伪变量)，我们简单地将其记为 f (t ) ，而不是更繁琐的记法 $f(t)=\frak{F}^{-1}(F(\mu))$ 。公式 (4-20) 和 (4-21) 组成了所谓的 Fourier 变换对，通常记为 f (t) ⟺ F(μ) 。双向箭头表示，右边的表达式是通过对左边的表达式进行正向Fourier变换得到的，而左边的表达式是通过对右边的表达式进行逆 Fourier 变换得到的。

根据 Euler 公式，我们可以将 (4-20) 写成

(4-22) $\displaystyle F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left [ \cos{(2{\pi}{\mu}t)}-j\sin{(2{\pi}{\mu}t)}\right ] dt$

如果 f (t) 为实数，则我们发现它的变换通常是复数。需要注意的是，Fourier变换是 f (t) 乘以正弦项的展开式，这些正弦项的频率由 μ 的值决定。因此，由于积分后剩下的唯一变量是频率，我们称Fourier变换的定义域为频域。我们将在本章后面更详细地讨论频域及其属性。在我们的讨论中，t 可以表示任何连续变量，而频率变量 μ 的单位取决于 t 的单位。例如，如果 t 表示时间(以秒为单位)，则 μ 的单位为周期/秒或Hertz(Hz)。如果 t 表示距离(以米为单位)，则 μ 的单位为周期/米，依此类推。换句话说，频域的单位是输入函数自变量的每单位周期数。

例子 4.1 获得一个简单连续函数的Fourier变换。

图 4.4(a) 中函数的 Fourier 变换由公式(4-20)得出：

$\begin{array}{rlc} F(\mu)&\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2{\pi}{\mu}t} dt =\int_{-W/2}^{W/2}Ae^{-j2{\pi}{\mu}t} dt \\ \\ &\displaystyle= \frac{-A}{j2{\pi}\mu}\bigg [e^{-j2{\pi}{\mu}t} \bigg ]_{W/2}^{W/2}= \frac{-A}{j2{\pi}\mu}\bigg [ e^{-j{\pi}{\mu}w}-e^{j{\pi}{\mu}w} \bigg ] \\ \\ &\displaystyle=\frac{A}{j2{\pi}\mu}\bigg [ e^{j{\pi}{\mu}w}-e^{-j{\pi}{\mu}w} \bigg ] \\ \\ &\displaystyle=AW\frac{\sin({\pi}{\mu}W)}{({\pi}{\mu}W)} \end{array}$

其中，我们使用了三角恒等式 $\sin(\theta) = (e^{j\theta} - e^{-j{\theta}})/(2j)$ 。在这种情况下，Fourier变换的复数项完美地组合成一个实数正弦函数。上式最后一步的结果称为正弦函数，其一般形式为

(4-23) $\displaystyle \text{sinc}(m)=\frac{\sin({\pi}m)}{{\pi}m}$

其中，对于 m 的所有其他整数值，sinc(0) = 1，sinc(m) = 0。图 4.4(b) 显示了 F ( μ ) 的图形。

-------------------------------图 4.4：(a)一个箱式函数；(b)它的 Fourier 变换；(c) 它的谱。所有函数在两个方向上都延伸到无穷大。注意函数的宽度 W 与变换的零点之间的反比关系。-------------------------------------------------------------------

一般来说，Fourier变换包含复数项，为了便于显示，通常使用变换的幅值(实数)，这称为Fourier谱(Fourier spectrum)或频谱(frequency spectrum)：

$\displaystyle |F(\mu)|=AW \left \vert \frac{\sin({\pi}{\mu}W)}{({\pi}{\mu}W)} \right \vert$

图 4.4(c) 显示了 | F(μ)| 随频率变化的图。需要注意的关键性质包括：(1) F(μ) 和 | F(μ)| 的零点位置与“盒子”函数的宽度 W 成反比；(2) 叶瓣的高度随着距原点的距离而减小；(3) 无论 μ 为正值还是负值，该函数都趋于无穷大。正如你稍后将看到的那样，这些性质对于解释图像二维Fourier变换的光谱非常有帮助。

例子 4.2 获得一个简单连续函数的 Fourier 变换。

位于原点的单位脉冲的Fourier变换遵循公式(4-20)：

$\displaystyle \frak{F} \{ \delta(t) \} = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2{\pi}{\mu}t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2{\pi}{\mu}t}\delta(t)dt = e^{-j2{\pi}{\mu}}$

其中，我们利用了公式 (4-12) 中的筛选性质。由此可见，位于空间域原点的脉冲的Fourier变换在频域中是一个常数(我们在第 3.4 节中结合图 3.30 简要讨论了这一点)。

类似地，一个位于 $t=t_{0}$ 点处的脉冲的 Fourier 变换是

$\begin{array}{rlc} \displaystyle \frak{F} \{ \delta(t-t_{0}) \} = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_{0})e^{-j2{\pi}{\mu}t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2{\pi}{\mu}t}\delta(t-t_{0})dt = e^{-j2{\pi}{\mu}t_{0}}\end{array}$

其中，我们使用了公式 (4-13) 中的筛选属性。项 $e^{-j2{\pi}{\mu}t_{0}}$ 表示圆心位于复平面原点的单位圆，你可以很容易地用 Euler 公式将指数展开成正弦和余弦分量。

在 4.3 节中，我们将使用周期脉冲序列的Fourier变换。获取此变换并不像我们刚才针对单个脉冲所展示的那样简单。然而，理解如何推导脉冲序列的变换非常重要，因此我们在这里花些时间进行推导。首先，我们注意到，公式(4-20)和(4-21)唯一的基本区别在于指数的符号。因此，如果函数 f (t)具有Fourier变换 F(μ)，则在 t 时刻求该函数 F (t ) 的 Fourier 变换必然具有 f (-m) 的变换。使用对称属性并考虑到(如上已证明的)脉冲 $\delta(t-t_{0})$ 的 Fourier 变换是 $e^{-j2{\pi}{\mu}t_{0}}$ ，可推导出函数 $e^{-j2{\pi}{\mu}t_{0}}$ 具有变换 $\delta (\mu-t_{0})$ ，通过令 $-t_{0}=a$ ，可推导出 $e^{-j2{\pi}{\mu}t_{0}}$ 的 Fourier 变换是 δ (-μ + a) = δ (μ - a) ，其中这最后一步是成立的，因为 δ 是零的，除非 μ = a ，这条件与 δ (-μ + a) 或 δ (μ - a) 相同。

公式 (4-14)中的脉冲序列 $s_{{\Delta}(t)}(t)$ 是 ΔT 为周期的周期序列，因此可将其表示为 Fourier 级数：

$\displaystyle s_{{\Delta}(t)}(t)=\sum_{ n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t}$

其中

$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{\Delta{T}}\int_{-\Delta{T}/2}^{\Delta{T}/2}\delta(t)e^{-j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t}dt=\frac{1}{\Delta{T}}e^{0}=\frac{1}{\Delta{T}}$

其中，我们使用了 δ(t) 的筛选属性。则 Fourier 级数化成了

$\displaystyle s_{{\Delta}(t)}(t)=\frac{1}{\Delta{T}}\sum_{ n=-\infty}^{\infty}e^{j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t}$

我们的目标是求出这个表达式的 Fourier 变换。由于求和是一个线性过程，因此求和的Fourier变换等同于求和中各个分量的变换之和。这些分量是指数函数，我们之前在这个例子中已经确定

$\displaystyle \frak{F}(e^{j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t})=\delta(\mu-\frac{n}{\Delta{T}})$

因此，这个周期脉冲序列的 Fourier变换是

$\begin{array}{rlc}\displaystyle S(\mu)=\frak{F}(s_{{\Delta}(t)}(t))=\frak{F}(\frac{1}{\Delta{T}}\sum_{ n=-\infty}^{\infty}e^{j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t}) = \frac{1}{\Delta{T}}\frak{F}(\sum_{ n=-\infty}^{\infty}e^{j\frac{2{\pi}n}{\Delta{T}}t})= \frac{1}{\Delta{T}}\sum_{ n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta{T}}) \end{array}$

这个基本结论表明，具有周期 ΔT 的脉冲序列的 Fourier变换也是一个脉冲序列，其周期为1/ΔT 。这个序列 $s_{{\Delta}(t)}(t)$ 与 S(μ) 的周期之间的反比例(inverse proportionality) 类似于我们在图 4.4 中发现的箱式函数及其变换。这种逆关系在本章的其余部分中起着基础性的作用。

4.2.5 卷积

我们在 3.4 节中展示了两个函数的卷积，它涉及将一个函数绕其原点翻转(旋转 180°)，然后使其滑过另一个函数。在滑动过程中的每次位移，我们都会进行一次计算，对于离散变量来说，该计算是乘积的和[参见公式 (3-35)]。在本讨论中，我们感兴趣的是两个连续函数 f (t) 和 h(t) 的卷积，它们都包含一个连续变量 t，因此我们必须使用积分而不是求和。这两个函数的卷积使用符号 ★ 表示(如前一样)，定义为

(4-24) $\displaystyle ( f {\bigstar} h )(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

其中减号表示刚才提到的翻转，t 是使一个函数滑过另一个函数所需的位移，𝒯 是一个被积分掉的伪变量。我们假设函数从 -∞ 延伸到 +∞ 。

我们在第 3.4 节中阐述了卷积的基本原理，本章后面以及第 5 章中也会再次阐述。目前，我们感兴趣的是求 (4-24) 式的Fourier变换。我们从 (4-19) 式开始：

$\begin{array}{rlc} \frak{F}\{(f {\bigstar} h )(t)\} & \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty}\left [\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau \right ]e^{-j2{\pi}{\mu}t}dt \\\\ &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\left [\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2{\pi}{\mu}t}dt \right ]d\tau \end{array}$

方括号中的项是 h(t - 𝒯) 的Fourier 变换，在本章稍后我们将证明 $\displaystyle \frak{F}\{h(t - \tau)\} = H(\mu)e^{-j2{\pi}{\mu}\tau}$ ，其中，H(μ ) 是 h(t ) 的Fourier 变换，使用前述公式，我们得到

$\begin{array}{rlc} \frak{F}\{ ( f {\bigstar} h )( t ) \}&\displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)[H(\mu )e^{-j2{\pi}{\mu}\tau} ] d\tau \\ \\ &\displaystyle= H(\mu )\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-j2{\pi}{\mu}\tau}d\tau \\ \\ &\displaystyle= H(\mu)F(\mu) \\ \\ &\displaystyle= (H {\cdot} F )(\mu) \end{array}$

其中“ • ”表示乘法。如前所述，如果我们将 t 的域称为空域(译注：即图像的平面空间域)，将 μ 的域称为频域，则上述公式表明，两个函数在空域中卷积的Fourier变换等于这两个函数在频域中Fourier变换的乘积。相反，如果我们得到这两个变换的乘积，我们可以通过计算逆Fourier变换来获得空域中的卷积。换言之，f ★ h 和 H • F 是一对Fourier变换。这个结果是卷积定理的一半，记为

(4-25) $( f \bigstar h )( t ) \Longleftrightarrow(H \cdot F )(\mu )$

如前所述，双箭头表示右边的表达式是通过对左边的表达式进行正向Fourier变换得到的，而左边的表达式是通过对右边的表达式进行逆Fourier变换得到的。

按照类似的推导可以得到卷积定理的另一半：

(4-26) $( f \cdot h )( t ) \Longleftrightarrow(H \bigstar F )(\mu )$

该定理指出，频域中的卷积类似于空域中的乘法，两者分别通过正向Fourier变换和逆Fourier变换联系起来。正如你将在本章后面看到的，卷积定理是频域滤波的基础。

4.3 采样和采样函数的Fourier变换(Sampling and the Fourier transform of sampled functions)

在本节中，我们将运用4.2节中的概念，构建一个数学表达采样的基础。从基本原理出发，我们将得到采样函数的Fourier变换，即离散Fourier变换。

4.3.1 采样(Sampling)

连续函数必须转换为离散值序列才能在计算机中处理。这就需要对信号进行采样和量化，正如第 2.4 节所述。在接下来的讨论中，我们将更详细地探讨采样。

考虑我们希望在均匀区间 ΔT 上对其进行采样的一个连续函数 f (t)(自变量为t )(见图 4.5)。我们首先假设此函数关于t从 -∞ 延拓到 ∞ 。对采样进行建模的一种方法是将 f (t) 乘以一个采样函数，该函数等于相距 ΔT 个单位的脉冲序列。即

(4-27) $\displaystyle \tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n{\Delta}T)$

其中， $\tilde{f}(t)$ 表示采样函数，如图 4.5(c) 所示，该求和的每一个分量都是一个脉冲，其值是脉冲所在位置的 f(t) 值的加权脉冲。每一个样本的值由加权脉冲的“强度”给出，该强度可以通过积分获得。即，采样序列中任意一个采样 $f_{k}$ 的值由下列公式得到：

(4-28) $\displaystyle f_{k} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-k{\Delta}T)dt = f (k{\Delta}T)$

其中，我们在公式 (4-13) 中使用了 δ 的筛选性质。公式 (4-28) 对任意整数值 k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... 都成立。图 4.5(d) 显示了结果，它由原函数的等距样本组成。

--------------------------------图 4.5: (a)连续函数。(b)用于模拟采样的脉冲序列。(c)由(a)和(b)的乘积构成的采样函数。(d)通过积分并利用脉冲的筛选特性获得的样本值。((c)中的虚线仅供参考，它不是数据的一部分。)------------------------------------

4.3.2 采样函数的Fourier变换(The Fourier transform of sampled functions)

令 F(μ) 表示一个连续函数 f (t ) 的 Fourier 变换。如上一节所述，相应的采样函数 $\tilde{f}(t)$ 是 f (t) 与脉冲序列的乘积。根据卷积定理，两个函数乘积在空间域的Fourier变换是这两个函数在频域变换的卷积。因此，采样函数的Fourier变换为：

(4-29) $\tilde{F}(\mu) = \frak{F}\{ \tilde{f}(t) \} = \frak{F}\{{f (t)s_{\Delta T}(t)} \} = (F{\bigstar} S)(\mu)$

其中，根据 (4.2)有

(4-30) $\displaystyle S(\mu) = \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})$

是脉冲序列 $s_{\Delta T}(t)$ 的 Fourier变换。我们直接从公式(4-24)中的一维卷积定义得到 F(μ) 和 S(μ)的卷积：

(4-31) $\begin{array}{rlc} \tilde{F}(\mu) &\displaystyle = (F {\bigstar} S)(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}F (\tau)S(\mu-\tau)d\tau &\displaystyle \\ \\ &\displaystyle= \frac{1}{\Delta T}\int_{-\infty}^{\infty}F (\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T})d\tau \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\delta(\mu-\mu-\frac{n}{\Delta T}d\tau \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T}) \end{array}$

其中，最后一步是根据脉冲的筛选特性得出的，如公式(4-13)。

公式 (4-31) 的最后一行中的行表明，采样函数 $\tilde{f}(t)$ 的 Fourier 变换 $\tilde{F}(\mu)$ 是原连续函数变换副本的一个无限周期序列。副本之间的间隔(separation)由 1/ΔT 的值确定。注意到，尽管 $\tilde{f}(t)$ 是一个采样函数，但其变换 $\tilde{F}(\mu)$ 是连续的，因为它由 F( μ) 的副本构成，而 F( μ) 是一个连续函数。

图 4.6 是上述结果的图形总结。(注：为了清晰起见，图 4.6 中的Fourier变换示意图以及本章其他类似的图示，我们忽略了Fourier变换通常是复函数这一事实。我们这里关注的是概念。) 图 4.6(a) 是一个函数 f (t) 的Fourier变换 F(μ) 的示意图，图 4.6(b) 显示了采样函数 $\tilde{f}(t)$ 的变换 $\tilde{F}(\mu)$ 。如上一节所述，量 1/ΔT 是用于生成采样函数的采样率。因此，在图 4.6(b) 中，采样率足够高，可以在周期之间提供足够的间隔，从而保持 F( μ) 的完整性(即完备副本)。在图 4.6(c) 中，采样率刚好足以保持 F(μ) 的完整性，但在图 4.6(d) 中，采样率低于维持 F( μ) 不同副本所需的最小值，因此未能保持原始变换。图 4.6(b) 是过采样(over sampled)信号的结果，而图4.6(c) 和 (d) 分别是对信号进行临界采样(critically sampling)和欠采样(under-sampling)的结果。这些概念是帮助你掌握采样定理基本原理的基础，我们接下来将讨论采样定理。

----------------------------------图 4.6：(a) 带限函数的Fourier变换示意图。(b)–(d)分别在过采样、临界采样和欠采样条件下，相应采样函数的变换。---------------------------------------------

4.3.3 采样定理(The sampling theorem)

我们在第 2.4 节中直观地介绍了采样的概念。现在我们正式考虑采样，并建立从一组样本中唯一地恢复连续函数的条件。

对于一个函数 f (t )，若其 Fourier 变换的频率值在关于原点的一个有限区间(带) $[-\mu_\text{max} , \mu_\text{max} ]$ 之外为零，则称其为一个带限函数(band-limited)。图 4.7(a) 是图 4.6(a) 的放大部分，就是这样一个函数。同样，图 4.7(b) 是临界采样函数变换的更详细视图[见图 4.6(c)]。较高的 ΔT 值会导致 $\tilde{F}(\mu)$ 中的周期合并；较低的 ΔT 值会使周期之间的间隔分明。

如果我们能从 $\tilde{F}(\mu)$ 包含的函数周期副本序列中分离出 F( μ ) 的单个副本，我们就可以从其样本中恢复 f (t )。F( μ) 是采样函数 f (t ) 的 Fourier变换。回顾一下上一节的讨论， $\tilde{F}(\mu)$ 是一个周期为 1/ΔT 的连续周期函数。因此，我们只需要一个完整的周期来表征整个变换即可。换言之，我们可以通过对 F( μ ) 进行逆Fourier变换，从该单个周期中恢复 f (t ) 。

如果副本之间的间隔足够大，就可以从 $\tilde{F}(\mu)$ 中提取出一个等于 F( μ) 的周期(见图 4.6)。根据图 4.7 (b) ，只要 $1/(2{\Delta}T ) > \mu_{\rm{max}}$ 或者

(4-32) $\displaystyle \frac{1}{\Delta T} > 2{\mu}_{\rm{max}}$

即可确保足够的间隔。该公式表明，如果以超过函数最高频率两倍的速率采集样本，则可以从一组样本中完全恢复连续的带限函数。这个极其重要的结果被称为采样定理。(注：采样定理是数字信号处理理论的基石。它最初由Bell实验室的科学家兼工程师Harry Nyquist于1928年提出。同样来自Bell实验室的Claude E. Shannon于1949年正式证明了该定理。20世纪40年代末，早期数字计算系统和现代通信的出现引发了人们对处理数字(采样)数据的方法的需求，重新引发了人们对采样定理的兴趣。 ) 基于此结果，我们可以说，如果以超过(信号)函数最高频率两倍的速率采集样本来表示连续的带限函数，则不会丢失任何信息。相反，我们可以说，以 1/ΔT 的速率对信号进行采样可以“捕获”的最大频率为 ${\mu}_{\rm{max} }= 1/(2{\Delta}T )$ 。恰好等于信号最高频率两倍的采样率称为Nyquist速率。有时，以恰好Nyquist速率采样足以完美地恢复函数，但在某些情况下，这会导致困难，正如我们将在后面的示例4.3中说明的那样。这就是采样定理规定采样必须超过Nyquist速率的原因。

---------------------------------图 4.7：(a) 带限函数的 Fourier变换示意图。(b) 对该带限函数进行临界采样得到的变换。----------------------------------------

图 4.8 展示了当函数采样率高于Nyquist采样率时，从 $\tilde{F}(\mu)$ 恢复 F( μ ) 的过程。图 4.8(b) 中的函数定义如下：

(4-33) $H(\mu)=\left \{ \begin{array}{lrc} \Delta T \;\;(-{\mu_{\rm{max}}}\le \mu \le \mu_{\rm{max}}) \\ \\ 0\;\;(\rm{otherwise}) \end{array} \right .$

当该函数乘以图 4.8(a) 中的周期序列时，它会分离出以原点为中心的周期。然后，如图 4.8(c) 所示，我们通过将 $\tilde{F}(\mu)$ 乘以 H( μ) 得到 F( μ)：

(4-34) $F( \mu) = \tilde{F}(\mu) H( \mu)$

一旦我们有了 F ( μ ) 。我们就可以通过逆 Fourier 变换恢复 f (t)：

(4-35) $\displaystyle f ( t ) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2{\pi}{\mu}t}d\mu$

公式 (4-33) 至 (4-35) 证明，在理论上，可以从以超过函数最高频率内容两倍的速率获得的样本中恢复带限函数。正如我们将在下一节中讨论的那样，f ( t ) 必须是带限的，这通常意味着 f ( t ) 必须从 -∞ 延伸到 ∞ ，而这一条件在实践中无法满足。你很快就会看到，除了某些特殊情况外，限制函数的持续时间会阻碍从其样本中完美恢复函数。

-------------------------图 4.8：(a)采样带限函数的Fourier变换。(b)理想低通滤波器转移函数。(c) (b)和(a)之积，用于提取(a)中无限周期序列的一个周期。------------

函数 H (μ) 称为低通滤波器，因为它允许频率范围低端的频率通过，但会滤除(滤除)较高频率。它也称为理想低通滤波器，因为其幅度会瞬时转变(在位置 $-\mu_{\rm{max}}$ 处在 0 到 ΔT 之间，在 $\mu_{\rm{max}}$ 处则相反)，这一特性无法在硬件中物理实现。我们可以用软件模拟理想滤波器，但即使如此也存在局限性(参见 4.8 节)。由于它们有助于从样本中恢复(重构)原始函数，因此用于上述目的之滤波器也称为重构滤波器。

4.3.4 混叠( Aliasing )

字面意义上，“混叠”的意思是“虚假的身份”。在信号处理领域，混叠是指一种采样现象，即不同的信号在采样后变得难以区分；或者，从另一个角度来看，一个信号“伪装”成另一个信号。

从概念上讲，采样和混叠之间的关系并不难理解。混叠现象与采样相关的基础在于，我们只能通过采样值来描述数字化函数。这意味着，两个(或多个)完全不同的连续函数可能在各自的采样值处重合，但我们无法知道这些采样值之间的函数特性。为了说明这一点，图 4.9 显示了两个以相同速率采样的完全不同的正弦函数。如图 4.9(a) 和 (c) 所示，两个函数中有许多地方的采样值相同，从而导致采样函数完全相同，如图 4.9(b) 和 (d) 所示。

-------------------------------图 4.9：(a) 和 (c) 中的函数完全不同，但 (b) 和 (d) 中的数字化版本却相同。当两个或多个函数的样本重合，但函数在其他地方不同时，就会发生混叠。-----------------------------------------------------------------

具有上述特征的两个连续函数称为混叠对，这样的函数对在采样后无法区分。需要注意的是，这些函数产生混叠的原因是我们使用的采样率太粗，也就是说，函数采样不足。显而易见，如果采样率更精细，两个连续函数之间的差异就会越来越多地在采样信号中显现出来。以下讨论的主要目的是回答这个问题：为了避免(或减少)混叠，所需的最低采样率是多少？这个问题既有理论答案，也有实践答案。在得出答案的过程中，我们将确定混叠发生的条件。

我们可以使用本节前面开发的工具来正式回答我们刚才提出的问题。我们只需换一种形式来提问：如果一个带限函数的采样率低于Nyquist速率(即低于其最高频率的两倍)，会发生什么情况？这正是本节前面讨论过并在上一段中提到的欠采样情况。

图 4.10(a) 与图 4.6(d) 相同；它示意性地显示了欠采样、带限函数的Fourier变换。该图说明，将采样率降低到Nyquist率以下的净效应是，Fourier变换的周期现在重叠，并且无论使用何种滤波器，都无法分离出变换的单个周期。例如，使用图 4.10(b) 中的理想低通滤波器会导致变换被相邻周期的频率破坏，如图 4.10(c) 所示。逆变换将产生一个与原始函数不同的函数 $f_{a}(t)$ 。即， $f_{a}(t)$ 将是一个混叠函数，因为它将包含原函数中不存在的频率分量。使用我们之前的术语 $f_{a}(t)$ 将伪装成一个不同的函数。混叠函数可能与其原函数完全没有相似之处。

---------------------------图 4.10：(a)欠采样、带限函数的傅里叶变换。(相邻周期之间的干扰以虚线表示)。(b)与图 4.8 中使用的相同理想低通滤波器。(c) (a) 和 (b) 的乘积。相邻周期的干扰会导致混叠，从而无法完美恢复 F ( μ )，进而无法恢复 f (t )。------------------------------------------

遗憾的是，除了下文提到的一些特殊情况外，采样信号中总是存在混叠。这是因为，即使原采样函数是带限的，当我们限制函数的持续时间时，也会引入无限的频率分量，而这在实践中我们总是不得不这样做。举例来说，假设我们想将带限函数 f (t) 的持续时间限制在一个有限区间内，例如 [0,T ]。我们可以通过将 f (t ) 乘以函数

(4-36) $h(t)=\left \{ \begin{array}{lrc} 1 \;\; (0 \le \mu \le T)\\ \\ 0\;\;(\rm{otherwise}) \end{array} \right .$

该函数的基本形状与图 4.4(a) 相同，其傅里叶变换 H(m) 的频率分量在两个方向上都延伸到无穷大，如图 4.4(b) 所示。根据卷积定理，我们知道乘积 h( t) f (t) 的变换是变换 F( μ) 和 H( μ) 在频域中的卷积。即使 F( μ) 是带限的，将其与 H( μ) 卷积(即让一个函数滑过另一个函数) 也会得到频率分量在两个方向上都延伸到无穷大的结果(参见问题 4.12)。由此我们得出结论，有限持续时间的函数不可能是带限的。相反，带限的函数必须从 -∞ 延伸到 ∞ 。(注：一个重要的特例是，一个从 -∞ 延伸到 ∞ 的函数是带限函数，并且是周期函数。在这种情况下，该函数可以被截断，但仍然是带限函数，前提是截断恰好包含整数个周期。单个截断周期(以及该函数)可以用一组满足采样定理的离散样本表示，这些样本取自截断区间。)

虽然混叠是处理有限长度采样记录的必然结果，但可以通过平滑(低通滤波)输入函数来衰减其高频部分，从而降低混叠的影响。这个过程称为抗混叠，必须在函数采样之前完成，因为混叠是一个采样问题，无法通过计算技术“事后消除”。

例子 4.3 混叠。

图 4.11 展示了混叠的经典图示。一个在两个方向上无限延伸的纯正弦波只有一个频率，因此显然它是带限的。假设图中的正弦波(暂时忽略大圆点)的方程为 f (t) = sin(πt)，横轴代表时间 t，以秒为单位。函数在 t = 0, ±1, ±2 ,… 处与横轴相交。

回顾一下，如果对于所有 t 值，f (t + P ) = f (t)，则函数 f (t) 为周期函数，且周期为 P。周期是函数完成一个循环所需的自变量单位数(包括分数)。周期函数的频率是函数在自变量的一个单位内完成的周期数(循环数)。因此，周期函数的频率是周期的倒数。与前面一样，采样率是每单位自变量采集的样本数。

在本例中，自变量是时间，单位为秒。sin(πt) 的周期 P 为 2 秒，其频率为 1/ P，即 1/2 个周期/秒。根据采样定理，如果采样率超过信号最高频率的两倍，我们可以从一组样本中恢复该信号。这意味着需要大于 1 个样本/秒(2 × 1/2 = 1)的采样率才能恢复信号。从另一个角度来看，样本之间的间隔 T 必须小于 1 秒。观察到，以恰好两倍的频率(1个样本/秒)对该信号进行采样，并在 t = 0 ,±1, ±2 ,… 处采样，结果为 …sin (−π), sin (0), sin (π)…，它们都为 0。这说明了采样定理要求采样率超过函数最高频率两倍的原因，正如前面提到的。

-----------------------------图 4.11：混叠图示。欠采样函数(点)看起来像一个正弦波，其频率远低于连续信号的频率。正弦波的周期为 2 秒，因此横轴的零交叉点每秒都会发生一次。ΔT是样本之间的间隔。---------------------------------------------

图 4.11 中的大点是以低于要求的每秒 1 个样本的速率均匀采样的(即，采样间隔超过 1 秒；实际上，采样间隔超过 2 秒)。采样信号看起来像正弦波，但其频率约为原始函数频率的十分之一。该采样信号的频率远低于原始连续函数中的任何频率，是混叠的一个例子。如果信号的采样速率略高于Nyquist速率，则样本看起来根本不像正弦波(参见问题 4.6)。

图 4.11 还说明了混叠效应在音乐录音中会如何造成严重问题，因为它会引入原始声音中不存在的频率。为了缓解混叠效应，必须滤除频率高于采样率一半的信号，以减少混叠信号对数字录音的影响。正因如此，数字录音设备才会配备专门设计的低通滤波器，以滤除高于设备采样率一半的频率成分。

如果我们只给出图 4.11 中的样本，另一个能说明混叠严重性的问题是，我们无法知道这些样本是否真实地代表了原始函数。正如你将在本章后面看到的那样，图像中的混叠也会产生类似的误导性结果。

4.3.5 基于采样数据的函数重建(恢复)(Function reconstruction (recovery) from sampled data )

在本节中，我们将展示如何从一组样本中重建一个函数，实际上可以简化为在样本之间进行插值(译注：即基于现有数据构建新值)。即使是像显示图像这样简单的操作，也需要通过显示介质从其样本中重建图像。因此，理解采样数据重建的基础知识至关重要。卷积是理解这一概念的关键，这再次证明了这一概念的重要性。

图 4.8 和公式 (4-34) 的讨论概述了使用频域方法从样本完美恢复带限函数的过程。利用卷积定理，我们可以在空间域中获得等效结果。根据公式 (4-34)， $F ( \mu) = H( \mu)\tilde{F}(\mu)$ ，因此可以推导出

(4-37) $\begin{array}{rl} f(t)&=\frak{F}^{-1}\{F(\mu)\} \\ \\ &=\frak{F}^{-1}\{H(\mu)\tilde{F}(\mu)\} \\ \\ &=h(t)\bigstar \tilde{f}(t) \end{array}$

其中，照例， $\tilde{f}(t)$ 表示采样信号，而最后一步可从卷积定量 (4-25) 推导。可以证明(见问题 4.13)，将 $\tilde{f}(t)$ 的公式 (4-27) 代入 (4-37) ，然后利用公式 (4-24)，即可导出下面的 f (t ) 的空间域表达式

(4-38) $\displaystyle f (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n{\Delta}T){\rm{sinc}}\bigg [(t-n{\Delta}T)/\Delta T \bigg ]$

其中，sinc 函数定义于公式 (4-23)。该结果并不意外，因为理想(箱式)滤波器的逆Fourier变换 H( μ) 是一个 sinc 函数(参见例 4.1)。公式 (4-38) 表明，完美重建函数 f (t) 是由样本值加权的 sinc 函数的无限和。它有一个重要的性质：重建函数在 ΔT 的多个整数增量处恒等地等于样本值。即，对于任何 t = kΔT (其中 k 为整数)，f (t) 等于第 k 个样本 f ( kΔT )。这由公式 (4-38) 得出，因为对于 m 的任何其他整数值，sinc(0) = 1 且 sinc (m) = 0。在样本点之间，f (t) 的值是由 sinc函数之和形成的插值。

公式 (4-38) 要求样本间的插值有无穷多个项。实际上，这意味着我们必须寻找样本间有限个插值的近似值。正如我们在第 2.6 节中讨论的那样，图像处理中使用的主要插值方法是最近邻域插值(nearest-neighbor)、双线性插值(bilinear)和双三次插值(bicubic)。我们将在第 4.5 节讨论插值对图像的影响。

4.4 单变量离散Fourier变换(The discrete Fourier transform of one variable)

本章的主要目标之一是从基本原理出发，推导离散Fourier变换 (DFT)。到目前为止的内容可以视为这些基本原理的基础，因此，现在我们已经掌握了推导 DFT 所需的工具。

4.4.1 基于采样函数的连续Fourier变换获得DFT (Obtaining the DFT from the continuous transform of a sampled function)

正如我们在4.3节中讨论的那样，一个从 −∞ 延伸到 +∞ 的采样带限函数的Fourier变换也是一个连续的周期函数，它也从 −∞ 延伸到 +∞。在实践中，我们处理的是有限数量的样本，本节的目标是推导此类有限样本集的DFT。

公式 (4-31) 给出了根据原函数的 Fourier 变换得出的采样数据的 Fourier 变换 $\tilde{F}(\mu)$ ，但他并没有给出我们根据采样函数 $\tilde{f}(t)$ 其自身的 $\tilde{F}(\mu)$ 表达式。我们根据公式 (4-19) 中的 Fourier变换的定义而直接求得 $\tilde{F}(\mu)$ 的表达式：

(4-39) $\displaystyle \tilde{F}(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(t)e^{-j2{\pi{\mu}}t}dt$

通过代入公式 (4-27) 中的 $\tilde{f}(t)$ 的表达式，我们求得

(4-40) $\begin{array}{rl}\displaystyle \tilde{F}(\mu) &\displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(t)e^{-j2{\pi{\mu}}t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2{\pi{\mu}}t}dt \\ \\ &\displaystyle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2{\pi{\mu}}t}dt \\ \\ &\displaystyle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_{n}e^{-j2{\pi{\mu}}n{\Delta}T}dt \end{array}$

上述最后一步根据公式 (4-28) 以及脉冲信号的筛选属性推导。尽管 $f_{n}$ 是一个离散函数，但其 Fourier 变换 $\tilde{F}$ 是连续且无限周期的，其周期为 1/(ΔT ) ，正如我们根据公式 (4-31)所知。因此，我们刻画 $\tilde{F}(\mu)$ 仅需一个周期，而对这个函数的一个周期进行采样是 DFT 的基础。

假设我们想要获取 $\tilde{F}(\mu)$ 的 M 个等间距样本，这些样本取自一个周期间隔，从 μ = 0 到 μ = 1/(ΔT )(见图 4.8)。这可以通过在以下频率处采样来实现：

(4-41) $\displaystyle \mu = \frac{m}{M{\Delta}T}\hspace{0.2cm}( m = 0 ,1 ,2 ,... , M - 1)$

将 μ 的这个结果代入公式 (4-40)并令 $F_{m}$ 表示代入后计算的计算，得到

(4-42) $\displaystyle F_{m}= \sum_{m=0}^{M-1}f_{n}e^{-j2{\pi}mn/M}\hspace{0.2cm} ( m = 0 ,1 ,2 ,... , M - 1)$

这个表达式正是我们寻求的离散 Fourier 变换公式。(注：回顾图 4.6(b)，注意到我们对 $F_{m}$ 的一个周期进行采样的区间 [0 , 1/(ΔT )] 涵盖了变换的两个相邻半周期(但周期的最低半周期出现在较高频率)。这意味着 $F_{m}$ 中的数据需要重新排序，以获得按周期内从最低频率到最高频率排序的样本。这是为了在 m = 0 ,1 ,2 ,… , M - 1 处取样以方便记数而付出的代价，而不是在原点两侧取样，因为那样需要使用负数记数法。对变换数据进行排序的过程将在 4.6 节中讨论。) 已知一个由 f (t) 的 M 个采样点构成的的集合 $\{f_{m} \}$ ，公式 (4-42) 得出与输入采样集的离散 Fourier 变换相对应的 M 个复数值的集合 $\{F_{m} \}$ ，反之，已知 $\{F_{m} \}$ ，我们可以使用逆离散 Fourier 变换(IDFT)恢复这个采样集合 $\{f_{m} \}$ ，即

(4-43) $\displaystyle f_{m} = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F_{m} e^{j2{\pi}mn/M} \hspace{0.2cm}( m = 0 ,1 ,2 ,..., M - 1)$

不难证明(见问题 4.15)，将公式 (4-43)中的 $f_{m}$ 代入公式 (4-42)，我们得到恒等式 $F_{m} \equiv F_{m}$ 。类似地，将公式 (4-42)中的 $F_{m}$ 代入公式 (4-43)，我们得到恒等式 $f_{m} \equiv f_{m}$ 。这意味着公式 (4-42) 和公式 (4-43) 构成了一个离散 Fourier 变换对。此外，这些恒等式表明，对于任何一组有限值的样本，正向和逆 Fourier 变换都存在。注意，这两个表达式都不明确依赖于采样间隔ΔT ，也不明确依赖于公式 (4-41) 中的频率间隔。因此，DFT对适用于任何按均匀采样的离散样本集。

在前面的展开中，我们使用 m 和 n 来表示离散变量，因为在求导过程中通常这样做。然而，更直观的做法是(尤其是在二维空间中)，用 x 和 y 表示图像坐标变量，用 u 和 v 表示频率变量，因为这些变量可以理解为整数。(注：我们谨慎地使用 t 表示连续空间变量，m 表示相应的连续频率变量。从现在开始，我们将分别使用 x 和 u 表示一维离散空间变量和频率变量。在二维空间中，我们将分别使用 (t, z) 和 (m ,n) 表示连续空间变量和频域变量。类似地，我们将使用 (x, y) 和 (u , v) 表示它们的离散对应项。) 则公式 (4-42) 和 (4-43) 化成

(4-44) $\displaystyle F(u) = \sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2{\pi}ux/M} \hspace{0.2cm} ( u = 0 ,1 ,2 ,... , M - 1)$

和

(4-45) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{-j2{\pi}ux/M} \hspace{0.2cm} ( x = 0 ,1 ,2 ,... , M - 1)$

其中，我们使用了函数记法来代替简单的下标记法。对比公式 (4-42) 到 (4-45)，你可以看到， $F_{u} \equiv F_{m}$ 和 $f (x) \equiv f_{n}$ 。从此以后，我们使用公式 (4-44) 和 (4-45) 来表示一维 DFT 对，与连续的情况相同，我们通常称公式 (4-44) 为 f (x) 的正向(forward) DFT ，称公式 (4-45) 为 F(u) 的逆向 DFT 。照例，我们使用记法 f (x) ⟺ F(u) 来表示一个 Fourier 变换对。有时，你会在文献中看到公式 (4-44) 前面有 1/M 项。这并不影响这两个公式构成Fourier变换对的证明(参见问题 4.15)。

f (x) 和 F(u) 是一个变换对的知识在证明函数及其变换之间的关系非常有用。例如，在问题 4.17 中要求要证明 $f (x - x_{0}) \Longleftrightarrow F(u) e^{-j2{\pi}u x_{0}/M}$ 是一个 Fourier 变换对。即，你必须证明 $f (x - x_{0})$ 的 DFT 是 $F(u) e^{-j2{\pi}u x_{0}/M}$ ，而反之，也必须证明 $F(u) e^{-j2{\pi}u x_{0}/M}$ 的逆 DFT 变换是 $f(x-x_{0})$ 。因为这是通过直接代入公式 (4-44) 和公式 (4-45) 而得到的。并且你已经证明了这两个方程构成一个Fourier变换对(问题 4.15)，如果你证明“⇔”的一侧是另一侧的离散Fourier变换 (DFT)，那么另一侧也必然是你刚刚证明的那一侧的离散Fourier变换(DFT)。事实证明，能够选择证明其中一侧通常会大大简化证明过程。这对于一维连续Fourier变换对和二维连续离散Fourier变换对也是如此。

可以证明(见问题 4.16)，正向和逆向离散变换都是无限周期的，周期为 M。即

(4-46) $F(u) = F(u + kM )$

和

(4-47) $f (u) = f (u + kM )$

其中，k是一个整数。

公式 (4-24) 中的一维卷积的离散等价式为

(4-48) $\displaystyle f (x){\bigstar} h(x) = \sum_{m=0}^{M-1}f(m)h(x-m)\hspace{0.2cm} ( x = 0 ,1 ,2 ,..., M - 1)$

由于前述公式中的函数是周期性的，因此它们的卷积也是周期性的。公式 (4-48) 给出了周期卷积的一个周期。因此，该方程通常称为循环卷积。这是 DFT 及其逆函数周期性的直接结果。这与你在 3.4 节中学习的卷积形成了对比，在 3.4 节中，位移 x 的值取决于一个函数是否完全滑过另一个函数，而不是像循环卷积那样固定在 [0, M - 1] 的范围内。我们将在 4.6 节和图 4.27 中讨论这一差异及其重要性。

最后，我们指出，公式 (4-25) 和公式 (4-26) 中给出的卷积定理也适用于离散变量，但公式 (4-26) 的右边要乘以 1/ M(问题 4.18)。

4.4.2 采样和频率间距的关系 (Relationship between the sampling and frequency intervals)

若 f (x) 由一个函数 f (t) 按 ΔT 个单位间距采样的点构成，则构成这个集合 { f (x) } (x = 0 ,1 ,2 ,… , M - 1)的记录长度是

(4-49) $T = M{\Delta}T$

而频域中相应的频距(spacing)可根据公式(4-41)导出：

(4-50) $\displaystyle \Delta u = \frac{1}{M\Delta T} = \frac{1}{T}$

则由DFT的M 个成分张成的整个频率范围为

(4-51) $\displaystyle R = M{\Delta}u = \frac{1}{\Delta T}$

因此，我们从公式 (4-50) 和公式 (4-51) 可以看出，DFT的频率分辨率 u 与记录的长度 T (如果 t 为时间，则为持续时间)成反比，而 DFT 所涵盖的频率范围则取决于采样间隔 T 。请记住 u 与 T 之间的这些反比关系。

例子 4.4 DFT的机制。

图 4.12(a) 显示了连续函数 f (t ) 的四个样本，间隔 T 个单位。图 4.12(b) 显示了 x 域中的样本。x 的值分别为 0，1，2 和 3，分别表示从 0 开始依次递增的样本数。例如， $f (2) = f ( t_{0} + 2{\Delta}T )$ 是 f (t) 的第三个样本。

根据公式 (4-44)，F(u) 的第一个值(即 F(0))是

$\displaystyle F(0) = \sum_{x=0}^{3}f(x) = [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3) ] = 1 + 2 + 4 + 4 = 11$

F(u) 的下一个值是

$\begin{array}{rl} \displaystyle F(1) = \sum_{x=0}^{3}f(x)e^{-j2{\pi}(1)x/4} = 1e^{0} + 2e^{-j{\pi}/2} + 4e^{-j{\pi}} + 4e^{-j3{\pi}/2} = -3 + 2j \end{array}$

类似地，F(2) = -(1 + 0j ) 和 F(3) = -(3 + 2j ) 。注意，f (x)的所有值都参与了计算 F(u) 的每一个值。

如果我们已知 F(u)，并要求计算其逆，则我们将以相同的方式进行，但使用逆 Fourier 变换。例如，

$\begin{array}{rl} f (0) &\displaystyle=\frac{1}{4}\sum_{u=0}^{3}F(u)e^{-j2{\pi}u(0)} \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{4}\sum_{u=0}^{3}F(u)=\frac{1}{4}\bigg [ 11 - 3 + 2j - 1 - 3 - 2j \bigg ] \\ \\ &\displaystyle= \frac{1}{4} [4] = 1 \end{array}$

与图4.12(b)一致。f (x) 的其他值可按类似方式获得。

---------------------------图 4.12：(a)一个连续函数，间隔 ΔT 个单位采样。(b)在 x 域中采样。变量 t 是连续的，而 x 是离散的。------------------------------------

4.5 (单变量离散Fourier变换向)二元函数的扩展(Extensions to functions of two variables)

在下面的讨论中，我们将本章前面章节中介绍的概念扩展到两个变量。

4.5.1 二维脉冲及其筛选属性 (The 2-D impulse and its sifting property)

两个连续信号 t 和 z 的脉冲 δ(t ,z) 定义如前：

(4-52) $\delta(t ,z) = \left \{ \begin{array}{lr} 1 \hspace{0.2cm}(\text{if} \hspace{0.2cm}t=z=0) \\ \\ 0 \hspace{0.2cm} (\rm{otherwise}) \end{array} \right .$

且

(4-53) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t ,z)dtdz = 1$

与一维的情况一样，二维脉冲在积分下也表现在筛选属性，

(4-54) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t ,z)\delta(t,z)dtdz = f(0,0)$

或者，更一般地，对于位于 $(t_{0},z_{0})$ 的脉冲，有

(4-55) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t ,z)\delta(t-t_{0} ,z-z_{0})dtdz = f (t_{0},z_{0})$

照例，我们看到筛选属质得出了函数在脉冲位置的值

对于离散变量 x 和 y ，二维离散单位脉冲定义为

(4-56) $\displaystyle \delta(x ,y) = \left \{ \begin{array}{lr} 1 \hspace{0.2cm} (\text{if} \hspace{0.2cm} x=y=0) \\ \\ 0 \hspace{0.2cm}(\text{otherwise}) \end{array} \right .$

而其筛选属性定义为

(4-57) $\displaystyle \sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x ,y)\delta(x ,y)dxdy= f (0 ,0)$

而 f (x ,y) 是离散变量 x 和 y 的一个函数。对于位于点 $(x_{0} ,y_{0})$ 处的脉冲，其筛选属性为

(4-58) $\displaystyle \sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x-x_{0} ,y-y_{0} )dxdy= f (x_{0} ,y_{0} )$

当处理有限维图像的时候，前面两个公式的极限替换为图像的维数。

4.5.2 二维连续Fourier变换对(The 2-D continuous Fourier transform pair)

设 f (t ,z)为两个连续变量 t 和 z 的连续函数。二维连续 Fourier 变换对为表达式

(4-59) $\displaystyle F(\mu,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2{\pi}({\mu}t+vz)}dtdz$

和

(4-60) $\displaystyle f(t,z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu,v)e^{j2{\pi}({\mu}t+vz)}d{\mu}dv$

其中 μ 和 ν 是频率变量。在图像中，t 和 z 解释为连续空间变量。与一维情况一样，变量 μ 和 ν 的定义域定义了连续频域。

例子 4.5 求一个箱式函数的2维Fourier变换。

图 4.14(a) 显示了示例 4.1 中一维箱式函数的二维等效形式。按照与该示例类似的步骤，可得到结果

$\begin{array}{rl} F(\mu,\nu)&\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2{\pi}({\mu}t+{\nu}z)}dtdz \\ \\ &\displaystyle=\int_{-T/2}^{T/2}\int_{-T/2}^{T/2}Ae^{-j2{\pi}({\mu}t+{\nu}z)}dtdz \\ \\ &\displaystyle=ATZ \bigg [ \frac{\sin({\pi}{\mu}t)}{({\pi}{\mu}t)} \bigg]\bigg [ \frac{\sin({\pi}{\nu}t)}{({\pi}{\nu}t)} \bigg] \end{array}$

图 4.14(b) 显示了谱在原点附近的部分。与一维情况一样，谱中零点的位置与 T 和 Z 的值成反比。在本例中，T 大于 Z，因此谱沿 μ 轴“收缩”得更厉害。

-----------------------------图 4.14：(a) 二维函数和 (b) 其谱的一段。箱沿 t 轴方向较长，因此谱沿 μ 轴方向收缩得更厉害。--------------------------------------

4.5.3 二维采样和二维采样定理(2-D sampling and the 2-D sampling theorem)

与一维情况类似，二维采样可以用采样函数(即二维脉冲序列)建模：

(4-61) $\displaystyle s_{\Delta T \Delta Z}(t,z)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}\delta(t-m\Delta T,z-m\Delta z)$

其中，ΔT 和 ΔZ 连续函数 f (t,z) 沿 t 轴和 z 轴的样本间距(separations)。公式(4-61)描述了一组沿两个轴无限延伸的周期脉冲(见图4.15)。正如图 4.15 中所示的一维情况一样，用 $s_{\Delta T \Delta Z}(t,z)$ 乘以 f (t,z) 就得到了采样函数。

-------------------------------------------图 4.15：二维脉冲序列--------------------------------------

若函数 f (t,z) 的 Fourier 变换在频率域中由区间 $[-\mu_{\rm{max}},\mu_{\rm{max}}]$ 和 $[-\nu_{\rm{max}},\nu_{\rm{max}}]$ 所确定的矩形之外为0，则称其为带限函数；即

(4-62) $F(\mu,\nu) = 0$ ( 对于 $|\mu| \ge \mu_{\rm{max}}$ 和 $|\nu| \ge \nu_{\rm{max}}$ )

二维采样定理指出，如果采样间隔为，对于一个连续带限函数f (t,z)，若采样间距满足下列条件，则可以从其一组样本中准确无误地将其恢复；即满足

(4-63) $\displaystyle {\Delta}T < \frac{1}{2{\mu}_{\rm{max} }}$

和

(4-64) $\displaystyle {\Delta}Z < \frac{1}{2{\nu}_{\rm{max} }}$

或者，根据采样率来表达，若

(4-63) $\displaystyle \frac{1}{\Delta T} > 2{\mu}_{\rm{max}}$

和

(4-66) $\displaystyle \frac{1}{\Delta Z} > 2{\nu}_{\rm{max}}$

换言之，若一个二维连续带限函数按照要求以大于函数在 μ 和 ν 方向最高频率内容的两倍进行采样，则我们称此采样无失真。

图 4.16 显示了图 4.6(b) 和 (d) 的二维等效图。二维理想滤波器转移函数的形式如图 4.14(a) 所示(但在频域中)。图 4.16(a) 中的虚线部分显示了滤波器函数的位置，为了从采样中重建带限函数，需要分离变换的单个周期，如图 4.8 所示。从图 4.10 可知，如果函数采样不足，周期会重叠，因此无法分离单个周期，如图 4.16(b) 所示。在这种情况下，会产生混叠。

----------------------------------图 4.16：(a)过采样函数和(b)欠采样带限函数的二维Fourier变换。---------------------------------------------------------------

4.5.4 图像中的混叠(Aliasing in images)

在本节中，我们将混叠的概念扩展到图像，并详细讨论与图像采样和重采样相关的混叠的几个方面。

4.5.4.1 基于一维混叠的扩展(Extensions from 1-D Aliasing)

与一维情况类似，两个连续变量 t 和 z 的连续函数 f (t ,z) 通常只有当其在两个坐标方向上都无限延伸时，才可以被限制在频带范围内。限制函数空间持续时间(例如，将其乘以一个箱式函数)本身会引入在频域中延伸至无穷远的有害频率分量，如第 4.3 节所述(另见问题 4.12)。由于我们无法对函数进行无限采样，因此混叠现象始终存在于数字图像中，就像在采样的一维函数中一样。图像混叠现象主要表现为两种：空间混叠和时间混叠。空间混叠是由欠采样引起的，如第 4.3 节所述，并且在具有重复图案的图像中往往更为明显(且令人反感)。时间混叠现象与动态图像序列中图像之间的时间间隔有关。时间混叠最常见的例子之一是“马车轮”效应，即在一系列图像(例如电影)中，带有辐条的车轮看起来像是在反向旋转。这是由于帧速率相对于序列中车轮的旋转速度过低造成的，类似于图 4.11 中描述的现象，即欠采样产生的信号频率似乎比原信号低得多。

本章重点讨论空间混叠。图像中空间混叠的关键问题是引入伪影(artifacts)，例如线条特征的锯齿状、虚假高亮以及原图像中不存在的频率模式。正如我们使用图 4.9 解释一维函数中的混叠一样，我们可以使用一些简单的图形直观地理解图像混叠的本质。图 4.17 中间部分的采样网格是图 4.15 中脉冲序列的二维表示。网格中的白色小方块对应于脉冲的位置(图像采样的位置)，黑色表示样本之间的间隔。将采样网格叠加到图像上类似于将图像乘以脉冲序列，因此我们在图 4.15 中讨论的与脉冲序列相关的采样概念也适用于此处。现在的重点是以图形方式分析采样率(网格中采样点的间隔)与被采样的二维信号频率之间的相互作用。

-----------------------------图 4.17：二维信号的频率与用于数字化的采样率之间的相互作用导致各种混叠效应。采样网格以外的区域是连续的，没有混叠。--------------------------------------------

图 4.17 显示了部分重叠三个二维信号(图像区域)的采样网格，这些信号分别具有低、中、高空间频率(相对于网格中采样单元之间的间隔)。需要注意的是，区域中的空间“细节”水平与频率成正比(即，频率越高，信号包含的条带越多)。采样网格内的区域剖面大致反映了采样后的图像效果。正如预期的那样，三个数字化区域都出现了一定程度的混叠，但效果差异显著，并且会随着细节(频率)和采样率之间差异的增加而恶化。低频区域的渲染效果相当好，边缘略有锯齿。由于采样率相同，随着区域频率增加到中间范围，锯齿感会增强。这种边缘失真(合适称谓为齿状化)在线条和/或边缘内容较强的图像中很常见。

图 4.17 右上角的数字化高频区域表现出完全不同且有些令人惊讶的行为。数字化部分中出现了额外的条纹(频率较低)，并且这些条纹相对于连续区域中条纹的方向发生了显著的旋转。这些条纹是完全不同信号的混叠。如下例所示，这种行为可能导致图像看起来“正常”，但与原图像毫无关联。

例子 4.6 图像中的混叠。

设想一个完美的成像系统，它无噪声，能够生成与其观测结果精确对应的数字图像，但其采样数量固定为 96 × 96 像素。为简单起见，假设像素是单位宽度和长度的小方块。我们希望使用该系统对黑白方块交替的棋盘格图像进行数字化。棋盘格图像可以解释为周期性的，在两个维度上无限延伸，其中一个周期等于相邻的黑白方块对的数量。如果我们将“有效”的数字化图像定义为从无限序列中提取的图像，并且该图像包含整数倍的周期，那么根据我们之前的评论，我们知道正确采样的周期图像将不会出现混叠。在本例中，这意味着方块的大小必须使得 96 除以该大小得出偶数。这将得到整数个周期(黑白方块对)。在规定条件下，正方形的最小尺寸为1像素。

本示例的主要目的是研究当棋盘格图像中边长小于 1 个像素的方格出现时会发生什么。这对应于前面讨论过的欠采样情况，会导致混叠。棋盘格图像的水平或垂直扫描线会产生一维方波，因此我们可以专注于一维信号的分析。

为了理解我们的成像系统在采样方面的能力，回顾一下一维采样定理的讨论：给定采样率，采样信号在发生混叠之前允许的最大频率必须小于采样率的一半。我们的采样率是固定的，即每个独立变量单位(单位为像素)采样一次。因此，为了避免混叠，我们的信号可以达到的最大频率是1/2周期/像素。

我们可以得出同样的结论，因为我们的系统能够处理的最苛刻的图像是当方块宽度为1个单位(像素)时，周期(循环)为两个像素。频率是周期的倒数，或者说是1/2个循环/像素，正如上一段所述。

图 4.18(a) 和 (b) 分别展示了棋盘格图像的采样结果，其方格尺寸分别为 16 × 16 和 6 × 6 像素。这两幅图像任一方向的扫描线频率分别为 1/32 和 1/6 周期/像素。这些频率远低于我们系统允许的 1/2 周期/像素。如前所述，由于图像在系统视场内完美配准，因此结果如预期般没有混叠。

当方块尺寸减小到略小于一个像素时，会产生严重的齿状图像，如图 4.18(c) 所示(所用的方块尺寸约为 0.95 × 0.95 像素)。最后，将方块尺寸减小到略小于边长 0.5 像素，就得到了图 4.18(d) 所示的图像。在这种情况下，齿状结果看起来像一个正常的棋盘格图案。实际上，这幅图像是从边长为 12 像素的棋盘格图像采样而得到的。最后这张图很好地提醒了我们，齿状可能会产生视觉上相当误导的结果。

------------------------------图 4.18：混叠。(a) 和 (b) 中的正方形边长分别为 16 和 6 像素。(c) 和 (d) 中的正方形边长分别为 0.95 和 0.48 像素。(c) 中的每个小正方形都代表一个像素。(c) 和 (d) 都存在混叠。请注意 (d) 是如何伪装成“正常”图像的。-----------------------------------------------------------------

可以通过稍微散焦待数字化的图像来减弱高频，从而降低混叠效应。如第 4.3 节所述，抗混叠滤波必须在“前端”进行，即在图像采样之前。目前没有所谓的事后软件抗混叠滤波器可以用来减少因违反采样定理而导致的混叠效应。大多数商用数字图像处理软件都包含一项名为“抗混叠(anti-aliasing)”的功能。然而，如下面的示例 4.8 所示，该术语与模糊数字图像以减少重采样造成的额外混叠伪影有关。该术语并不适用于减少原采样图像中的混叠。相当多的商用数码相机都内置了真正的抗混叠滤波功能，无论是在镜头中还是在传感器本身的表面。甚至大自然也采用这种方法来减少人眼的混叠效应，如下例中所示。

例子 4.7 自然界遵循采样定理的极限。

在讨论图 2.1 和 2.2 时，我们提到视锥细胞是负责清晰视觉的传感器。视锥细胞集中在中央凹，与晶状体的视轴成一线，其浓度以偏离视轴的度数来衡量。人类视力(分辨精细细节的能力)的标准测试是在视野的一度范围内放置黑白条纹交替的图案。实验证据表明，如果条纹总数超过 120 条(即频率为 60 周期/度)，观察者会将图像感知为单一的灰色块状。也就是说，眼睛的晶状体会自动对高于 60 周期/度的空间频率进行低通滤波。眼睛的采样是由视锥细胞完成的，因此，根据采样定理，我们预计眼睛的视锥细胞数量约为 120 个/度，以避免混叠效应。事实证明，这正是我们所拥有的！

4.5.4.2 图像重采样和插值(Image Resampling and Interpolation)

与一维情况类似，要从一组样本完美重建带限图像函数，需要在空间域中与一个正弦函数进行二维卷积。如4.3节所述，这种理论上完美的重建需要使用无限求和进行插值，这在实践中迫使我们寻找近似插值方法。二维插值在图像处理中最常见的应用之一是图像大小调整(缩放)。放大(zooming)可以视为过采样，而缩小(shrinking)可以视欠采样。这两种操作与前几节讨论的采样概念之间的关键区别在于，我们将缩放应用于数字图像。

我们在 2.4 节中介绍了插值。我们当时的目的是说明最近邻插值、双线性插值和双三次插值的性能。本节将重点讨论采样和抗锯齿问题。锯齿通常是在图像缩放(放大或缩小)时产生的。例如，最近邻插值的一个特例是通过像素复制进行缩放，我们利用这种方法

将图像的尺寸放大整数倍。为了将图像的尺寸翻倍，我们复制每一列。这会使图像在水平方向上的尺寸翻倍。然后，我们复制放大图像的每一行，使图像在垂直方向上的尺寸翻倍。同样的步骤也可用于将图像放大任意整数倍。每一个像素的强度级别分配是由新位置与旧位置精确复制这一事实预先确定的。在这种粗略的放大方法中，主要的锯齿效应之一是在非水平或垂直的直线上引入锯齿。正如我们在 2.4 节中讨论的那样，图像放大过程中的混叠效应通常可以通过使用更复杂的插值来显著降低。以下示例将说明，混叠在图像缩小过程中也可能是一个严重的问题。

例子 4.8 例释重采样自然图像中的混叠现象。

当数字图像的尺寸减小时，混叠效应通常会加剧。图 4.19(a)是一张包含特意选择的区域的图像，用于展示混叠效应(请注意拍摄对象所穿所有服装中间距较窄的平行线)。图 4.19(a) 中没有令人反感的混叠伪影，这表明最初使用的采样率足以减轻可见的混叠。

在图 4.19(b) 中，使用行/列删除法将图像缩小至原尺寸的 33% 。混叠效应在此图像中非常明显(例如，围巾周围的区域和拍摄对象的膝盖)。图像 (a) 和 (b) 的大小相同，因为缩小后的图像通过像素复制恢复到了原尺寸(复制操作并未显著改变刚才讨论的混叠效应)。

前面提到的用于减少混叠的连续图像散焦的数字“等效”方法是，在重采样之前，用低通滤波器对数字图像进行平滑处理，从而衰减高频部分。图 4.19(c) 的处理方式与图 4.19(b) 相同，但原图像在缩小尺寸之前，先用 5 × 5 空间平均滤波器(参见 3.5 节)进行了平滑处理。与图 4.19(b) 相比，效果明显改善。图像比 (a) 和 (b) 略微模糊，但混叠现象已得到改善。

---------------------------------图 4.19：重采样自然图像混叠效果图。(a) 一幅 772 × 548 像素的数字图像，其混叠效果在视觉上可忽略不计。(b) 通过删除像素将图像缩小至原尺寸的 33%，然后通过复制像素将其恢复至原尺寸。混叠效果清晰可见。(c) 在调整大小之前使用均值滤波器对 (a) 中的图像进行模糊处理的结果。图像比 (b) 略微模糊，但混叠效果已不再明显。(原图像由加州大学Santa Barbara信号压缩实验室提供。)-----------------------------------------------------------------

4.5.4.3 混叠和Moiré条纹(Aliasing and Moiré Patterns)

在光学中，Moiré条纹是一种次级(secondary)视觉现象，例如，通过将两个间距近似相等的光栅叠加而产生。这些图案在日常生活中很常见。例如，我们在重叠的防虫纱窗上，以及电视光栅线与背景中条纹或纹理丰富的材料(或个人穿戴的物品)之间的干扰中都能看到它们。在数字图像处理中，类似Moiré 条纹的图案经常出现在对印刷媒体(例如报纸和杂志)进行采样时，或者在周期性分量(其间距与样本间距相当)的图像中。值得注意的是，Moiré条纹比采样伪影更为常见。例如，图 4.20 展示了使用未数字化向量图的Moiré条纹效果。单独来看，这些图案清晰且没有干扰。然而，将一个图案叠加在另一个图案上，这种简单的操作会创建一个原图案中不存在的频率的图案。特别注意由两种点状图案产生的Moiré条纹效果，因为这是下文讨论中感兴趣的效果。

-------------------------------图 4.20：Moiré条纹效果的示例。这些是向量图，而非数字化图案。将一个图案叠加在另一个图案上，类似于将两个图案相乘。--------------------------------------------------

例子 4.9 采样印刷媒体。

报纸和其他印刷材料使用所谓的半色调点，即黑点或椭圆形，它们的大小和各种分组方案用于模拟灰色调。通常，以下数值是典型的：报纸的半色调点数为每英寸 75 (dpi)，杂志为 133 dpi，高质量宣传册为 175 dpi。图 4.21 显示了报纸图像以 75 dpi 进行(欠)采样时的情况。采样格(垂直和水平方向)和报纸图像上的点图案(方向为 ±45°)相互作用，形成均匀的Moiré条纹，使图像看起来斑驳。(我们将在 4.10 节讨论一种在欠采样印刷介质中减少Moiré条纹影响的技术。)

-------------------------------图 4.21：以 75 dpi 分辨率数字化的报纸图像。请注意，由于半色调网点的 ±45° 方向与用于数字化图像的采样元素的南北方向相互作用，产生了类似Moiré条纹的图案。------------------------------------------------

4.5.5 二维离散Fourier变换及其逆变换(The 2-D discrete Fourier transform and its inverse)

与第 4.3 节和第 4.4 节类似的展开将产生以下二维离散 Fourier 变换 (DFT)：

(4-67) $\displaystyle F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2{\pi}(ux/M+vy/N)}$

其中 f (x, y) 是大小为 M × N 的数字图像。与一维情况类似，必须对公式(4-67)的离散变量 u 和 v 的值在 u = 0, 1, 2,…,M - 1 和 v = 0, 1, 2,…, N - 1 范围内进行的求值。

已知 F(u, v) ，我们可以利用逆离散 Fourier变换公式求得 f (x, y)：

(4-68) $\displaystyle f(x, y) = \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2{\pi}(ux/M+vy/N)}$

其中，x = 0, 1, 2,…,M - 1 和 y = 0, 1, 2,…, N – 1 。(注：如第 4.4 节所述，请记住，在本章中，我们使用 (t, z) 和 (m, n) 表示二维连续空间变量和频域变量。在二维离散情况下，我们使用 (x, y) 表示空间变量，(u, v) 表示频域变量，它们都是离散的。)

与一维情形[公式 (4-44)和 (4-45)]类似，公式 (4-67) 和 (4-68) 构成一个二维离散Fourier变换对，f (x, y) ⇔ F(u, v)。(该证明是对问题 4.15 中一维情形的直接扩展。)本章的其余部分讲解将基于两个方程的性质及其在频域图像滤波中的应用。与公式 (4-44) 和 (4-45) 相关的注释也适用于公式 (4-67) 和 (4-68)；即，知道 f (x, y) 和 F(u, v) 是一对Fourier变换对，其对于证明函数与其变换之间的关系非常有用。

4.6 二维离散Fourier变换同及其逆变换的一些性质(Some properties of the 2-D DFT and IDFT)

在本节中，我们介绍二维离散Fourier变换及其逆变换的几个性质。

4.6.1 空间间隔和频率间隔之间的关系 (Relationships between spatial and frequency intervals)

空间采样与相应频域间隔之间的关系如第 4.4 节所述。假设对连续函数f (t , z) 进行采样，形成数字图像 f (t , z)，该图像由分别在 t 方向和 z 方向采集的 M × N 个样本组成。令 T 和 Z 表示样本之间的间隔(见图 4.15)。则相应的离散频域变量之间的间隔分别由下式给出：

(4-69) $\displaystyle {\Delta}u = \frac{1}{M{\Delta}T}$

和

(4-70) $\displaystyle {\Delta}v = \frac{1}{N{\Delta}Z}$

4.6.2 平移和旋转 (Translation and Rotation)

下列Fourier变换对的有效性可以通过直接代入方程 (4-67) 和 (4-68) 来证明(参见问题 4.27)：

(4-71) $\displaystyle f (x ,y) e^{j2{\pi}(u_{0} x/M+v_{0} y/N)} \Longleftrightarrow F(u - u_{0}, v - v_{0})$

和

(4-72) $\displaystyle f (x - x_{0},y - y_{0}) \Longleftrightarrow F(u, v) e^{-j2{\pi}(x_{0}u/M+y_{0}v/N)}$

即，用所示的指数乘以 f (x ,y) 将 DFT 的原点移动到 $(u_{0} , v_{0})$ ，反之，用那个指数的负数乘以 F(u, v) 将 f (x ,y) 的原点移动到 $(x_{0}, y_{0})$ 。正如我们在例 4.13 中所示，平移对 F(u, v) 的大小(谱)没有影响。使用极坐标

$x = r\cos(\theta) , y = r\sin(\theta) , u = w\cos(\varphi) , v = w\sin(\varphi)$

可导出下列变换对：

(4-73) $f (r , \theta + \theta_{0} ) \Longleftrightarrow F(w, {\varphi} + \theta_{0} )$

这表明，按角度 $\theta_{0}$ 旋转 f (x ,y) 会按同样的角度旋转 F(u, v)。反之，旋转 F(u, v) 会同样的角度旋转 f (x ,y) 。

4.6.3 周期性 (Periodicity)

与一维情况一样，二维Fourier变换及其逆变换在 u 和 v 方向上具有无限周期性；即

(4-74) $F(u, v) = F(u + k_{1}M, v) = F(u, v + k_{2}N ) = F(u + k_{1}M, v + k_{2}N )$

和

(4-75) $f (x, y) = f (x + k_{1}M, y) = f (x, y + k_{2}N ) = f (x + k_{1}M, y + k_{2}N )$

其中， $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 是整数。

变换及其逆变换的周期性是基于DFT算法实现中的重要问题。考虑图4.22(a)中的一维频谱。如第4.4节所述[参见公式(4-42)的脚注]，在从0到M–1的区间内的变换数据由两个在点M/2处相交的半周期组成，但周期的下半部分出现在较高频率。为了显示和滤波的目的，在这个区间内采用一个完整的变换周期更为方便，其中数据是连续且有序的，如图4.22(b)所示。由公式(4-71)可知

$f (x)e^{j2{\pi}(u_{0} x/M)} \Longleftrightarrow F(u - u_{0})$

换言之，用所示项乘以 f (x) 会平移变换数据，使得原点 F(0) 移到 $u_{0}$ 。若我们 $u_{0}=M/2$ ，指数项成了 $e^{j2{\pi}x }$ , 其等于 $(-1)^{x}$ ，因为 x 是一个整数。在这种情况下，

$f (x)(-1)^{x} \Longleftrightarrow F( u - M/2 )$

即，用 $(-1)^{x}$ 乘以 f (x) 会平移数据，使得 F(u) 位于[0 , M - 1] 的中心，其对应图 4.22 (b) ，正如预期。

--------------------------图 4.22：Fourier变换的中心化。(a) 显示无限个周期的一维离散Fourier变换 (DFT)。(b) 在计算 F(u) 之前，将 f (x) 乘以 $(-1)^{x}$ 得到的移位离散Fourier变换 (DFT)。(c) 显示无限个周期的二维离散Fourier变换 (DFT)。虚线矩形内的区域是数据数组 F(u, v)，它是通过公式 (4-67) 获得的，输入是图像 f (x, y)。该数组由四个四分之一周期组成。(d) 在计算 F(u, v) 之前，将 f (x, y) 乘以 $(-1)^{x+y}$ 得到的移位数组。数据现在包含一个完整的、居中的周期，如 (b) 所示。---------------------------------------------

在二维中，这种情况更难绘制，但原理相同，如图 4.22(c) 所示。现在不是两个半周期，而是四个四分之一周期，它们在点 (M/2,N/2) 处交汇。与一维情况一样，我们希望平移数据，使 F(0,0) 位于点 (M/2,N/2) 处。在公式 (4-71) 中令 $(u_{0 }, v_{0}) = (M/2,N/2)$ 就导出

(4-76) $f (x, y)(-1)^{x+y} \Longleftrightarrow F( u - M/2 , v - N/2)$

使用此公式移动数据，使 F(0,0) 移动到频率矩形的中心(即频域中区间 [0,M - 1] 和 [0,N - 1] 定义的矩形)。图 4.22(d) 显示了结果。

谨记，在我们所有的讨论中，空间域和频域中的坐标值都是整数。如2.4 节所述(见图 2.19)，如果(就像我们的例子一样)一幅 M × N 图像或变换的原点位于 (0,0)，则该图像或变换的中心位于 (floor(M/2), floor(N/2))。此表达式适用于 M 和 N 的偶数和奇数值。例如，大小为 20 × 15 的数组的中心位于点 (10, 7)。因为我们从 0 开始计数，所以它们分别是数组第一和第二坐标轴上的第 11 个点和第 8 个点。

4.6.4 对称性 (Symmetry properties)

泛函分析的一个重要结果是，任何实或复函数 w(x, y) 都可以表示为偶部与奇部之和，其中每一个部分可以是实数或复数：

(4-77) $w(x, y) = w_{e}(x, y) + w_{o}(x, y)$

其中，偶部和奇部分别定义为:

对于所有有效的 x 和 y，有

(4-78) $\displaystyle w_{e}(x, y) \triangleq\frac{w(x,y)+w(-x,- y)}{2}$

和

(4-79) $\displaystyle w_{o}(x, y) \triangleq\frac{w(x,y)-w(-x,- y)}{2}$

将公式 (4-78) 和 (4-79) 代入公式 (4-77) 就得到恒等式 w(x, y) ≡ w(x, y) 。因此证明了后述公式有的有效性。根据前述定义可以导出

(4-80) $w_{e}(x, y) = w_{e}(-x, -y)$

和

(4-81) $w_{o}(x, y) = -w_{o}(-x, -y)$

偶函数称为对称函数，奇函数称为反对称函数。由于DFT和IDFT中的所有指标都是非负整数，因此当我们谈及对称性(反对称性)时，我们指的是关于序列中心点的对称性(反对称性)，在这种情况下，偶函数和奇函数的定义变为：

对于 x = 0 ，1 ，… ，M – 1 和 y = 0 ，1 ，… ，N – 1 有

(4-82) $w_{e}(x, y) = w_{e}(M - x, N - y)$

和

(4-83) $w_{o}(x, y) = -w_{o}(M - x, N - y)$

照例，M 和 N 是二维数组行数和列数。

我们从初等数学分析中得知，两个偶函数或两个奇函数的乘积为偶函数，而一个偶函数和一个奇函数的乘积为奇函数。此外，离散函数为奇函数的唯一条件是其所有样本之和为零。这些性质引出了重要的结论：对于任意两个离散的奇偶函数 $w_{e}$ 和 $w_{o}$ ，有

(4-84) $\displaystyle \sum_{x=0}^{M}\sum_{y=0}^{N}w_{e}(x,y) w_{o} (x,y) = 0$

换言之，因为公式 (4-84) 的参数是奇数，因此求和的结果是0 。函数可以是实函数和复函数。

例子 4.10 奇偶函数。

虽然对于连续函数来说，偶函数数和奇函数数很容易直观地理解，但处理离散序列时，这些概念就不那么直观了。以下示例将有助于阐明上述概念。考虑一维序列

$f = \{ f (0), f (1), f (2), f (3)\} = \{2, 1, 1, 1\}$

其中，M = 4 。为了检验偶性，必须满足条件 f (x) = f (4 - x) (对 x = 0,1,2,3 ) 。即，我们要求

$f (0) = f (4), f (1) = f (3), f (2) = f (2), f (3) = f (1)$

由于 f (4) 超出了所考察的范围，并且可以是任意值，因此 f (0) 的值在偶性检验中无关紧要。我们看到，数组中的值满足接下来的三个条件，因此该序列具有偶性。事实上，我们得出结论，任何 4 点偶性序列都一定具有形式

$\rm \{ a ,b , a , b \}$

即，在四点偶序列中，只有第二个点和最后一个点必须相等。通常，当 M 为偶数时，一维偶数序列具有这样的性质：位置 0 和 M/2 处的点具有任意值。当 M 为奇数时，偶数序列的第一个点仍然是任意的，但其他点会形成具有相等值的点对。

奇数序列有一个有趣的性质，即它们的第一项 $w_{0}(0,0)$ 始终为 0，这一事实直接由公式 (4-79) 得出。考虑一维序列

$g = \{ g(0), g (1), g (2), g (3)\} = \{0, -1, 0, 1\}$

我们可以通过注意到序列中的项满足条件 g (x) = -g (4 - x)(其中 x = 1, 2, 3)来确认这是一个奇数序列。对于 x = 0，我们只需检查 g (0) = 0。我们利用定义检查其他项。例如，g (1) = -g (3)。任何 4 点奇数序列的形式为

$\{0 , b , 0 , b \}$

一般来说，当 M 为偶数时，一维奇数序列具有这样的性质：位置 0 和 M/2 处的点始终为零。当 M 为奇数时，第一项仍然必须为 0，但其余项将形成值相等但符号相反的对。

前面的讨论表明，序列的奇偶性也取决于序列的长度。例如，我们已经证明了序列 {0 , -1 , 0, 1} 是奇数。然而，序列 {0 , -1, 0, 1, 0} 既不是奇数也不是偶数，尽管其“基本”结构看起来是奇数。这是解释 DFT 结果时的一个重要问题。我们将在本节后面说明，偶函数和奇函数的 DFT 具有一些非常重要的特性。因此，理解函数何时是奇函数何时是偶函数，通常对我们解释基于 DFT 的图像结果至关重要。

同样的基本考虑也适用于二维空间。例如，图中粗体显示的 6 × 6 二维数组，其中心位于 (3,3)(记住，我们从 (0,0) 开始计数),

$\begin{matrix} 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&-2&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ \end{matrix}$

是奇数，正如公式 (4-83) 所证明的那样。然而，如果再添加一行或一列全为 0 的数组，则结果既不是奇数也不是偶数。通常，将一个偶数维的二维数组插入到一个更大的、也是偶数维的零数组中，只要中心重合，就能保持较小数组的对称性。类似地，将一个奇数维的二维数组插入到一个更大的、奇数维的零数组中，也不会影响对称性。注意，上述数组的内部结构是一个 Sobel 核(见图 3.50)。在例子 4.15 中，我们将再次讨论这个核，并将其嵌入到一个更大的、也是零的数组中，以便进行滤波。

有了前面的概念，我们可以建立DFT及其逆的一些重要的对称性质。一个常用的性质是实函数f ( x, y ) 的 Fourier 变换是共轭对称的(注：共轭对称性也称为 Hermit 对称性。“ 反 Hermit 对称性”有时也用来指共轭反对称性)：

(4.85) $F^{*}( u , v ) = F(-u,-v)$

我们按如下方式证明这个公式的有效性：

$\begin{array} {rlc} F^{*}(u,v)&\displaystyle=\bigg [ \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2{\pi}(ux/M+vy/N)} \bigg ]^{*} \\ \\ &\displaystyle= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f^{*}(x,y)e^{j2{\pi}(ux/M+vy/N)} \\ \\ &\displaystyle=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2{\pi}([-u]x/M+[-v]y/N)} \\ \\ &=F(-u,-v) \end{array}$

其中，第三步基于 f (x ,y) 是实数的事实。使用类似方法可以证明：若 f (x ,y) 是虚数，则其 Fourier 变换是共轭反对称的，即 $F^{*}( -u , -v ) = - F(u,v)$ 。

表 4.1 列出了在数字图像处理中有用的 DFT 的对称性和相关属性。回顾一下，双箭头表示Fourier变换对；也就是说，对于表中的每一行，具有左侧所列属性的函数的Fourier变换满足右侧的属性，反之亦然。例如，第 5 条规定：实函数 f (x ,y ) 的 DFT 为 $F^{*}( u ,-v )$ ，其中 (x, y) 被 (-x,-y) 替换，它是 f (x ,y ) 的 DFT 的复共轭。相反， $F^{*}( u ,v )$ 的 IDFT 为 f (-x,-y) 。

(注：回顾一下，x，y，u 和 v 是离散(整数)变量，其中 x 和 u 的取值范围为 [0, M - 1]，y 和 v 的取值范围为 [0, N - 1]。复函数为偶函数意味着其实部和虚部为偶数，奇函数亦然。与前面一样，“⇔”表示Fourier变换对。)

---------------------------表 4.1：二维DFT及其逆函数的一些对称性。R(u ,v)和I(u,v)分别是F(u ,v)的实部和虚部。“复数”一词表示函数的实部和虚部均非零(译注：实际上是表明虚部非零，否则就是实函数了)。-------------------------------------------------

例子4.11 表 4.1 中属性的1维例释。

表 4.2 中的一维序列(函数)及其变换是表 4.1 所列性质的简短示例。例如，在属性 3 中，我们看到元素为 {1, 2, 3, 4} 的实函数有一个Fourier变换，其实部 {10, -2, -2, -2} 为偶数，虚部 {0, 2, 0, -2} 为奇数。属性 8 告诉我们，实偶函数有一个变换既是实数又是偶数。属性 12 表明，偶复函数有一个变换既是复数又是偶数。表中的其他列表以类似的方式进行分析。

例子4.12 表 4.1 中属性的1维例释。

在本例中，我们证明了表 4.1 中的几个性质，以帮助你熟悉这些重要性质的运用，并为解决本章末尾的一些问题奠定基础。我们仅根据左侧的性质证明右侧的性质。逆定理的证明方式与我们在此处给出的证明方式类似。

考虑性质3 ：若f (x, y)为实函数，则其DFT的实部为偶数，虚部为奇数。我们证明该性质如下：F(u ,v) 一般为复数，因此可以表示为实部与虚部的和：F(u ,v) = R(u ,v) + jI(u ,v)。则 $F^{*}( u ,v) = R(u ,v) - jI(u ,v)$ 。此外，F(-u ,-v) = R(-u ,-v) + jI (-u ,-v)。但是，正如我们之前对公式(4-85)的证明，如果f (x, y) 为实数，则 $F^{*}(u ,v) = F(-u, - v )$ 。根据前两个公式，这意味着 R(u ,v) = R(-u ,-v)和 I(u ,v) = -I(-u,- v)。鉴于公式 (4-80) 和 (4-81) 中的定义，这证明了 R 是偶函数，而 I 是奇函数。

---------------------表 4.2：表 4.1 中部分属性的一维示例。---------------------

接下来，我们证明性质8。如果f (x, y) 为实数，根据性质3可知 F(u ,v) 的实部为偶数，因此，要证明性质8，我们只需证明：如果 f (x, y) 为实数且为偶数，则F(u ,v)的虚部为0(即F为实数)。步骤如下：

$\begin{array} {rlc} \frak{F}(f(x,y))&\displaystyle= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2{\pi}(ux/M+vy/N)} \\ \\ &\displaystyle= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}[f_{r}(x,y)]e^{-j2{\pi}(ux/M+vy/N)} \\ \\ &\displaystyle=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}[f_{r}(x,y)]e^{-j2{\pi}ux/M}e^{-j2{\pi}vy/N} \end{array}$

我们可以用偶部和奇部来展开这个表达式的最后一行

$\begin{array} {rlc} \frak{F}(f(x,y))&\displaystyle=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} [\text{even}][\text{even}-j\text{odd}][\text{even}-j\text{odd}] \\ \\ &\displaystyle=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} [\text{even}][\text{even}{\cdot}\text{even}-2j\text{even}{\cdot}\text{odd}-\text{odd}{\cdot}\text{odd}] \\ \\ &\displaystyle=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} [\text{even}{\cdot}\text{even}]-2j\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} [\text{even}{\cdot}\text{odd}]-\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} [\text{odd}{\cdot}\text{odd}] \\ \\ &\displaystyle=\rm{real} \end{array}$

第一步由 Euler 方程以及 cos 和 sin 分别为偶函数和奇函数的事实推导出来。我们还根据性质 8 得知，f (x, y) 除了是实函数之外，还是一个偶函数。倒数第二行中唯一包含虚部的项是第二项，根据公式 (4-84)，该项为 0。因此，如果 f (x, y) 为实数且为偶数，则 F(u,v) 为实数。如前所述，F(u,v) 也是偶数，因为 f (x, y) 是实数。至此，证明结束。

最后，我们证明了性质 6 的有效性。根据 DFT 的定义，

$\displaystyle \frak{F}(f(-x,-y))=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(-x,-y)e^{-j2{\pi}(ux/M+vy/N)}$

这里我们不做变量变换。我们计算的是 f (-x, -y) 的 DFT，因此我们只需将该函数代入公式即可，就像处理其他函数一样。由于其周期性，因此有 f (-x, -y) = f (M -x , N -y)。如果我们现在定义 m = M - x 且 n = N - y，则

$\displaystyle \frak{F}(f(-x,-y))=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2{\pi}(u[M-m]/M+v[N-n]/N)}$

为了验证这些求和的正确性，可以尝试进行一维变换，并手动展开几个项。因为 exp[-j2π(integer)] = 1，因此可推出

$\displaystyle \frak{F}(f(-x,-y))=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(m,n)e^{j2{\pi}(mu/M+nv/N)}=F(-u,-v)$

这样就推导出了证明。

4.6.5 Fourier谱和相位角 (Fourier spectrum and phase angle)

由于二维 DFT 一般都是复数，因此可以按极坐标形式表达：

(4.86) $\begin{array} {rlc} F( u ,v)&\displaystyle= R(u ,v) + jI(u ,v) \\ \\ &\displaystyle=|F( u ,v)|e^{j\phi(u,v)} \end{array}$

其中，大小

(4.87) $\displaystyle | F( u ,v)| = [R^{2} ( u ,v)+I^{2} ( u ,v) ]^{1/2}$

称为 Fourier(或频)谱 , 而

(4.88) $\displaystyle \phi(u ,v) = \arctan\bigg [\frac{I(u ,v)}{R(u ,v)} \bigg ]$

称为相位角(phase angle)或相位谱(phase spectrum)。回顾一下 4.2 节中的讨论，反正切必须使用四象限反正切函数计算，例如 MATLAB 的 atan2(Imag, Real) 函数。

最后，功率谱(power spectrum)定义为

(4.89) $\begin{array} {rlc} P( u ,v)&\displaystyle= \left \vert F(u,v) \right \vert^{2} \\ \\ &\displaystyle=R^{2}(u,v)+I^{2}(u,v) \end{array}$

如前一样，R 和 I 分别是 F( u ,v) 的实部和虚部，所有的计算都针对离散变量 u = 0, 1, 2 ,… M – 1 和 v = 0, 1, 2 ,… N – 1 。因此，| F( u ,v)| ，𝜙(u ,v) 和 P( u ,v) 都是大小为 M × N 的数组。

实函数的Fourier变换是共轭对称的[见公式(4-85)]，这意味着谱关于原点具有偶对称性：

(4.90) $| F( u ,v)| = | F(-u , -v)|$

相位角关于原点呈现奇数对称性：

(4.91) $\phi(u ,v) = -\phi(-u ,-v)$

根据公式 (4-67) 可推出

$\displaystyle F(0 ,0) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)$

这表明，DFT 的零频率项与 f ( x ,y ) 的均值成比率。即

(4.92) $\begin{array} {rlc} F(0,0)&\displaystyle= MN\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y) \\ \\ &\displaystyle= MN\overline{f} \end{array}$

其中， $\overline{f}$ (一个标量)表示 f ( x ,y) 的平均值。则

(4.93) $F(0 ,0) = MN |\overline{f} |$

由于比例常数 MN 通常较大，F(0 ,0) 通常是频谱中最大的分量，其最大分量可能比其他项大几个数量级。由于频率分量 u 和 v 在原点处为零，F(0 ,0) 有时被称为变换的直流分量。这个术语源自电气工程，其中“dc”表示直流电(即零频率电流)。

例子 4.13：矩形谱。

图 4.23(a) 显示了矩形的图像，图 4.23(b) 显示了其频谱，其值被缩放到 [0, 255] 的范围并以图像形式显示。究竟域和频域的原点均位于左上角。这是我们在图 2.19 中定义的右手坐标系约定。图 4.23(b) 中明显存在两点。正如预期的那样，变换原点周围的区域包含最高值(因此在图像中显得更亮)。然而，请注意，频谱的四个角也包含类似的高值。这是由于上一节讨论过的周期性特性。为了使频谱居中，我们只需在计算 DFT 之前将 (a) 中的图像乘以 $(-1)^{x+y}$ ，如公式 (4-76) 所示。图 4.23(c) 显示了结果，该结果显然更容易理解(注意关于中心点的对称性)。由于直流项在谱值中占主导地位，因此显示图像中其他强度的动态范围被压缩。为了展现这些细节，我们使用了公式 (3-4) 中定义的对数变换，其中 c = 1。图 4.23(d) 展示了 log(1 +| F( u ,v ) |) 的显示。细节的呈现效果明显增强。本章及后续章节中显示的大多数谱都以这种方式缩放。

-------------------------------图 4.23：(a) 图像。(b) 频谱，显示四个角有小而亮的区域(必须仔细观察才能看到)。(c) 中心化频谱。(d) 对数变换后的结果。频谱的零交叉点在垂直方向上更接近，因为 (a) 中的矩形在该方向上更长。本书中使用的右手坐标系约定将空间域和频域的原点置于左上角(见图 2.19)。-------------------------------

从公式 (4-72) 和公式 (4-73) 可知，频谱对图像平移不敏感(指数项的绝对值为 1)，但其旋转角度与旋转图像相同。图4.24 说明了这些特性。图 4.24(b) 中的频谱与图 4.23(d) 中的频谱相同。显然，图 4.23(a) 和 4.24(a) 中的图像不同，因此，如果它们的Fourier频谱相同，则根据公式 (4-86)，它们的相位角必定不同。图 4.25 证实了这一点。图 4.25(a)和 (b) 分别是图 4.23(a) 和 4.24(a) 的 DFT 的相位角阵列(以图像形式显示)。请注意，尽管相位图像之间唯一的区别只是简单的平移，但相位图像之间缺乏相似性。通常，对相位角图像进行视觉分析几乎无法获得直观的信息。例如，由于相位角为 45°，人们会直观地认为图 4.25(a) 中的相位角应该对应于图 4.24(c) 中的旋转图像，而不是图 4.23(a) 中的图像。事实上，如图 4.25(c) 所示，旋转图像的相位角具有很强的方向性，远小于 45°。

-----------------------------图 4.24：(a)图 4.23(a) 中的矩形平移后。(b)相应的谱。(c)旋转后的矩形。(d)相应的谱。平移后的矩形的谱与图 4.23(a) 中原始图像的谱相同。-------------------------------------------------------------------------

----------------------图 4.25：矩形的相位角图像(a) 居中，(b) 平移，和 (c) 旋转。----------------

DFT 频谱的分量决定了构成图像的正弦波的振幅。对于图像 DFT 中给定的任何频率，振幅越大意味着该频率的正弦波在图像中越突出。相反，振幅越小意味着该正弦波在图像中出现的次数越少。如图 4.25 所示，虽然相位分量的贡献不太直观，但它同样重要。相位是衡量各个正弦波相对于其原点位移的指标。因此，二维 DFT 的振幅是一个数组，其分量决定了图像中的强度，而相应的相位是一个角度数组，它承载了关于可识别物体在图像中位置的大部分信息。以下示例将更详细地说明这些概念。

例子 4.14：谱和相位角对图像形成的贡献。

图 4.26(b) 以图像形式显示了图 4.26(a) 中基于公式 (4-88) 计算得到的离散Fourier 变换 (DFT) 的相位角数组 𝜙(u ,v)。虽然该数组中没有任何细节能够让我们通过视觉分析将其与对应图像的结构联系起来，但该数组中的信息对于确定图像的形状特征至关重要。为了说明这一点，我们仅使用男孩的相位角重建了该图像。重建过程包括使用 f (u,v) 计算公式 (4-86) 的逆离散Fourier变换 (DFT)，度设置 F(u ,v) = 1。图 4.26(c) 显示了结果(原始结果的对比度远低于所示值；为了突出本次讨论中的重要细节，我们使用公式 (2-31) 和 (2-32) 对结果进行了缩放，然后使用直方图均衡化对其进行了增强)。然而，即使经过增强处理，仍然明显丢失了大量的强度信息(记住，这些信息是由谱承载的，

而我们在重建过程中并未使用谱)。然而，图 4.26(c) 中的形状特征与图 4.26(a) 中的形状特征明显一致。这生动地说明了相位角在确定图像形状特征方面的重要性。

图 4.26(d) 是通过计算逆 DFT 公式 (4-86) 得到的，但只使用了频谱。这意味着将指数项设置为 1，反过来又意味着将相位角设置为 0 。结果并不出人意料。它只包含强度信息，其中直流项占主导地位。由于相位设置为零，因此图像中没有形状信息。

最后，图 4.26(e) 和 (f) 再次证明了相位在确定图像空间特征内容方面起着主导作用。图 4.26(e) 是通过计算公式 (4-86) 的逆 DFT 得到的，其中使用了图 4.23(a) 中矩形的频谱和男孩图像的相位角。男孩的特征明显主导了这一结果。相反，图 4.26(f) 则以矩形为主，而图 4.26(f) 是使用男孩图像的频谱和矩形的相位角计算得到的。

-----------------------------图 4.26：(a) 男孩图像。(b) 相位角。(c) 仅使用相位角重建的男孩图像(所有形状特征均存在，但由于重建过程中未使用谱，因此缺少强度信息)。(d) 仅使用谱重建的男孩图像。(e) 使用相位角和图 4.23(a) 中矩形的谱重建的男孩图像。( f ) 使用相位和男孩图像的谱重建的矩形图像。-----------------------------------

4.6.6 二维离散卷积定理 (The 2-D discrete convolution theorem)

将公式 (4-48) 扩展到两个变量，可得到二维循环卷积的以下表达式：

(4.94) $\displaystyle ( f {\bigstar} h )( x , y) = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n) h(x-m,y-n)$

其中， x = 0 ,1 ,2 ,… , M - 1，y = 0 ,1 ,2 ,… , N – 1 。

与公式 (4-48) 类似，公式 (4-94) 给出了二维周期序列的一个周期。二维卷积定理为

(4.95) $( f {\bigstar} h )( x , y) \Longleftrightarrow ( F{\cdot}H )( u , v)$

而反之，有

(4.96) $( f {\cdot}h )( x , y) \Longleftrightarrow \frac{1}{MN}( F {\bigstar}H )( u , v)$

其中 F 和 H 分别是 f 和 h 的Fourier变换，利用公式 (4-67) 得到。与前面一样，双箭头表示表达式的左右两侧构成一个Fourier变换对。本章剩余部分我们将关注公式 (4-95)，该公式指出 f 和 h 的空间卷积的Fourier变换是它们变换的乘积。类似地，乘积 (F •H)( u , v) 的逆离散Fourier变换 (DFT) 可得出 ( f ★ h )( x , y) 。

公式 (4-95) 是频域线性滤波的基础，正如我们将在 4.7 节中解释的那样，它也是本章讨论的所有滤波技术的基础。正如你在第 3 章中回忆的那样，空间卷积是空间滤波的基础，因此公式 (4-95) 是建立空间域滤波和频域滤波之间等价性的纽带，正如我们之前多次提到的那样。

最终，我们感兴趣的是空间域中卷积的结果，也就是我们分析图像时所用的卷积结果。然而，卷积定理告诉我们，有两种方法可以计算两个函数的空间卷积。一种方法是直接在空间域中使用公式 (3-35) 进行计算，使用 3.4 节中描述的方法；另一种方法是，根据公式 (4-95)，我们可以计算每一个函数的Fourier变换，将变换相乘，然后计算逆Fourier变换。由于我们处理的是离散量，因此Fourier变换的计算采用 DFT 算法。这自然意味着周期性，这意味着，当我们对两个变换的乘积进行逆Fourier变换时，我们会得到一个循环(即周期性)卷积，其中一个周期由公式 (4-94) 给出。问题是：在什么条件下，直接空间方法和逆Fourier变换方法会得到相同的结果？我们首先通过查看一维示例，然后将结果扩展到两个变量来得出答案。

图 4.27 的左列实现了两个函数 f 和 h 的卷积，使用了公式 (3-35) 的一维等效形式。由于这两个函数的大小相同，因此写为

$\displaystyle ( f {\bigstar} h )( x ) = \sum_{m=0}^{399}f(x)h(x-m)$

回顾一下，我们对图 3.29 和 3.30 的解释，该过程包括：(1)将 h 旋转(翻转)180°[见图 4.27(c)]；(2) 将得到的函数平移 x [见图 4.27(d)]；以及 (3) 对于平移的每个 x 值，计算等式右边所有乘积的和。就图 4.27 而言，这意味着对于每一个 x 值，将图 4.27(a) 中的函数乘以图 4.27(d) 中的函数。位移 x 的范围涵盖了使 h 完全滑过 f 所需的所有值。图 4.27(e) 显示了这两个函数的卷积。如你所知，卷积是关于位移变量 x 的函数，而在本例中，使 h 完全滑过 f 所需的 x 的范围是 0 到 799。

--------------------------------图 4.27：左列：使用公式 (3-35) 计算的空间卷积，采用 3.4 节中讨论的方法。右列：循环卷积。( j ) 中的实线是使用 DFT 或公式 (4-48) 得到的结果。这个错误结果可以通过零填充来纠正。-------------------------------

如果我们试图使用DFT和卷积定理来获得与图4.27左列相同的结果，就必须考虑DFT表达式中固有的周期性。这相当于对图4.27(f)和(g)中的两个周期函数进行卷积(即，如公式(4-46)和(4-47)所示，这些函数及其变换都隐含着周期性)。卷积过程与我们刚才讨论的相同，但现在这两个函数是周期性的。按照上一段的方式处理这两个函数，会得到图4.27( j )中的结果，这显然是不正确的。因为我们卷积的是两个周期函数，所以卷积本身也是周期性的。图 4.27 中，周期非常接近，以至于它们会相互干扰，从而导致通常所说的环绕误差(wraparound error)。根据卷积定理，如果我们计算两个 400 点函数 f 和 h 的 DFT，将两个变换相乘，然后计算逆 DFT，我们将得到图 4.27( j ) 中实线所示的周期卷积的错误的 400 点段(记住，一维 DFT 的极限为 u = 0, 1, 2,…,M – 1)。如果我们使用公式 (4-48) [公式 (4-94) 的一维等价形式] 计算循环卷积的一个周期，也会得到同样的结果。

庆幸的是，解决环绕误差问题的方法很简单。考虑两个函数 f (x) 和 h(x)，分别由 A 和 B 个样本组成。可以证明(Brigham [1988])，如果我们在两个函数后附加零，使它们具有相同的长度(记为 P )，那么通过选择

(4-97) $P \ge ( A + B ) - 1$

来避免这个问题。在我们的例子中，每一个函数有 400 个点，因此我们可以使用的最小值为 P = 799，这意味着我们需要在每一个函数的后沿添加 399 个零。这个过程称为零填充，正如我们在 3.4 节中讨论的那样。作为练习，你应该确信，如果图 4.27(f) 和 (g) 中函数的周期通过在每一个周期后添加至少 399 个零来延长，则结果将是一个周期性卷积，其中每一个周期都与图 4.27(e) 中的正确结果相同。通过卷积定理使用 DFT 将得到一个与图 4.27(e) 相同的 799 个点的空间函数。因此，结论是，为了在第 3 章中卷积公式方法的“直接”表示和 DFT 方法之间获得相同的卷积结果，后者中的函数必须在计算其变换之前进行填充。

在二维空间中可视化类似的例子更加困难，但关于环绕误差以及在函数后补零的必要性，我们能够得出相同的结论。设 f (x, y) 和 h(x, y) 分别为大小为 A × B 和 C × D 像素的两个图像数组。通过在这两个函数后补零，可以避免循环卷积中的环绕误差，如下所示：

(4-98) $\displaystyle f_{p}(x,y)=\left \{ \begin{array} {rl}&\displaystyle f(x,y)\hspace{0.2cm}(0 \le x \le A-1 \; \text{and} \; 0 \le y \le B-1) \\ \\ &0 \hspace{0.2cm}(A \le x \le P \; \text{or} \; B \le y \le Q) \end{array} \right .$

和

(4-99) $\displaystyle h_{p}(x,y)=\left \{ \begin{array} {rl}&\displaystyle h(x,y)\hspace{0.2cm}(0 \le x \le C-1 \; \text{and} \; 0 \le y \le D-1) \\ \\ &0 \hspace{0.2cm}(C \le x \le P \; \text{or} \; D \le y \le Q) \end{array} \right .$

且

(4-100) $P \ge ( A + C ) - 1$

和

(4-101) $Q \ge ( B + D ) - 1$

生成的填充图像大小为 P × Q。如果两个数组的大小相同，均为 M × N，则要求 P ≥ 2M - 1 且 Q ≥ 2N - 1。通常，DFT 算法在偶数大小的数组中执行速度更快，因此，最好将 P 和 Q 选择为满足上述等式的最小偶数。如果两个数组的大小相同，则 P 和 Q 的选择如下：

(4-102) $P = 2M$

和

(4-103) $Q = 2N$

下一节中的图 4.31 说明了环绕误差对图像的影响。

图 4.27(a) 和 (b) 中的两个函数恰好在采样间隔结束之前变为零。如果其中一个或两个函数在采样间隔结束时不为零，则在函数后附加零以消除环绕误差时会产生不连续性。这类似于将一个函数乘以一个箱子，在频域中，这意味着将原变换与一个 sinc 函数进行卷积(参见例 4.1)。这反过来会产生所谓的频率泄漏，这是由 sinc 函数的高频分量引起的。泄漏会使图像产生块状效果。虽然泄漏永远无法完全消除，但可以通过将采样函数乘以另一个在采样记录两端平滑递减至接近零的函数来显著减少泄漏。此举旨在抑制箱子的急剧转变(从而抑制高频分量)。这种方法称为窗口化或变迹，当需要图像重建的保真度(如高清图形)时，它是一个重要的考虑因素。

4.6.7 二维离散Fourier变换之总结 (Summary of 2-D discrete Fourier transform properties)

表 4.3 总结了本章介绍的主要 DFT 定义。我们将在 4.11 节讨论可分离性，并展示如何使用正变换算法获得逆 DFT。相关性将在第 12 章详细讨论。

表 4.4 总结了一些重要的 DFT 对。虽然我们关注的是离散函数，但表中最后两项是Fourier变换对，它们只能从连续变量推导而来(注意使用了连续变量符号)。我们之所以将它们包含在这里，是因为如果解释得当，它们在数字图像处理中非常有用。微分对可用于推导公式 (3-50) 中定义的Laplace算子的频域等效项（参见习题 4.52）。Gauss对将在 4.7 节中讨论。表 4.1,4.3 和 4.4 总结了使用 DFT 时有用的属性。其中许多属性是本章其余部分内容发展的关键要素，其中一些属性将在后续章节中用到。