理解数学概念——素数(质数)(prime)

素数的概念与应用

原创已于 2025-12-01 23:25:04 修改 · 316 阅读

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#算法 #素数 #数论 #质数

于 2025-12-01 23:24:26 首次发布

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1. 素数(prime)概念

素数(或质数)是只有两个不同正因数(1 和它本身)的大于 1 的自然数，即它是大于1的不能分解为两个不同的较小整数之积的数。例如 2、3、5、7 和 11 都是质数。大于 1 的非素数称为(组)合数(a composite number)。数 1 既不是质数也不是合数。最小的素数是 2 ，2是唯一的偶数素数，除了2的所有其它偶数都是合数。质数是所有其他整数的组成部分，这意味着任何整数都可以表示为素数之积。

素数的性质称为素性(primality)。一种简单但速度较慢的检验给定数 n 是否为素数的方法称为试除法(trial division)，它测试 n 是否是 2 到 $\sqrt{n}$ 之间任何整数的倍数。更快的算法包括 Miller-Rabin 素性检验法，它速度快但误差率小；以及 AKS 素性检验法，它总能在多项式时间(polynomial time)内得出正确答案，但速度太慢，不实用。对于特殊形式的数，例如Mersenne数，有特别快的检验方法。截至 2024 年 10 月，已知最大的素数是一个 41,024,320 位十进制数的Mersenne素数。

素数有无穷多个，Euclid在公元前300年左右就证明了这一点。目前还没有简单的公式能够区分素数和合数。然而，我们可以用统计模型来描述自然数中较大数的素数分布。这方面的第一个成果是素数定理，它在19世纪末被证明。该定理大致表明，随机选择一个较大的数，它是素数的概率与其位数(即其对数)成反比。

关于素数，一些历史性问题至今仍未解决。其中包括Goldbach猜想(Goldbach's conjecture)：大于2的偶数都可以表示为两个素数之和；以及孪生素数猜想：存在无穷多对相差2的素数。这些问题推动了数论各个分支的发展，这些分支侧重于数的解析或代数性质。素数在信息技术的多个领域都有应用，例如公钥密码学，它利用了将大数分解成素因子的难度。在抽象代数中，性质类似于素数的对象包括素元素和素理想。

2. 素数(prime)词源

我们称它们为“素(质)数”(原来的，本原的,最初的，起始的，等等)，是因为拉丁语“primus”意为“第一(first)”。这个名称是由古希腊人赋予它们的，他们认为素数是所有其他自然数的“第一”或“基本组成部分”，因为所有其他数都可以通过素数相乘得到。“素数”一词也暗示着这些数在乘法运算中具有“最强的性质”，因为它们除了1和其自身，无法分解成更小的因子。事实上，英语单词“prime”源自拉丁语中表示“第一(first)”的词“primus”。从乘法意义上讲，素数是(生成其它数的)最初的数，其他所有数都是由它们通过乘法产生的。所有其他数(正整数)都可以用素数来度量，但只有素数能用单位来度量。这使得素数成为最初的数。

“素数”(拉丁语：prôtos)的这个数学含义自古以来基本未变，显然在Pythagoras时代就已经在使用。“prôtos”何时演变为“素数”？1570年。Henry Billingsley爵士于1570年首次将Euclid的《数学原理》(Element)翻译成英文，从此确立了“prime”是英文中表示素数的正确术语。Thomas Heath爵士称Billingsley的译本是第一个也是最重要的英文译本。

当然，并非一直都有人普遍使用“prôtos”来表示素数。例如，Iamblichus 写道，有些人称素数为“euthymetric”(等长)，而Thymaridas称它们为“rectilinear”(直线)(因为它们只能用一维方式表示)。Smyrna的Theon则用“linear”(线性)作为另一个名称。近代的作者则使用“simple”(简单的)和“incomposite”(非复合的)来指代素数。在另一方面，Archim(《数学原理》3.2)用“prôtos”来表示最初的正整数：字面意义上的1到1亿。不过，最终Euclid的《数学原理》确立了普适标准，为国王和平民百姓所接受。

总之，我们使用英语单词“prime”是因为古希腊人认为它们在乘法上是起始的，从这些数开始可以构造出其它数出来，所以Billingsley将Euclid的“prôtos”翻译成了“prime”。