代数学基本内容概观

其词义为“形式化的数学；方程分析；借助简洁且高度系统化的符号对定量关系进行推理的艺术，” 始于 1550年代，来自中古拉丁语词“algebra”，这又来自阿拉伯语“الجبر (al-jabr)”，该术语最初指的是正骨手术(surgical treatment of bonesetting)。9世纪，波斯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子密(Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi)赋予了它数学含义，他用它来命名一种方程变换方法。花剌子密在研究方程求解的过程中，首倡把一个负项移到方程的另一端变为正项，称之为“al-jabr”(从“正骨”的意义完美转变为“一种方程变换法——对消法”)，意思是“还原”，并认为方程的两端可以消去相同的项或合并同类项，称之为“muqa-bala”，意为“对消”或“化简”。这是花剌子密首创的两种重要的数学方法。并将“algebra”用作其著作《还原和对消计算概要》的标题的一部分((al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah)被译为拉丁文《Liber mahucmeti de Algebra et almuchabala》),而从阿拉伯语“al-jabr”转译为拉丁语是采用音译法，这样就译成了“algebra”,而其意义变成了“对消”、“还原” 。该词于 16 世纪从意大利语、西班牙语和中世纪拉丁语进入英语。最初，它的含义仅限于方程理论，即为了求解方程而对多项式方程进行运算的艺术。这种情况在 19 世纪发生了改变，代数学的范围扩大到涵盖各种类型的代数运算和结构及其基本公理(即它们遵循的规律)的研究。

859年，中国数学家李善兰首次将“algebra”译为“代数”，这一译名在他与英国人伟烈亚力合译的《代数术》中得到了阐释，其意为“皆可以任何记号代之”，即运用符号，如字母，来替代数字进行计算。随后，清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅在合译的《代数学》中进一步阐明了代数的本质，即通过符号化手段来抽象地表达数量关系。

总结起来就是：“algebra”一词，最初在阿拉伯语中指的是“正骨手术”(转译为拉丁字母是“al-jabr”)，被阿拉伯数学家花剌子密用于表示一种方程变换法(对消，还原，化简)，并在其书名中用到了这个词；后来被音译为拉丁语“algebra”，专用于表示方程计算法。

2. 什么是代数

代数是数学的一个分支，它使用符号(例如变量)来表示未知量及其之间的关系(代数结构)。代数涉及使用包含变量(例如 x, y)和运算符( + ,- ,×, ÷ )的数学表达式来求解这些未知量，并以更一般的方式来表示问题。其关键概念包括解方程、运算表达式以及绘制函数图像来表示和分析问题。

用集合论的思想来说，代数结构是一个非空的数学对象集合，例如整数，以及定义在该集合上的代数运算，例如加法和乘法。代数研究代数结构的规律、一般特征和类型。在某些代数结构中，它研究方程中变量的使用以及如何操作这些方程。

代数通常理解为算术的推广。算术研究特定数场(domain)(例如实数场)内的加法、减法、乘法和除法等运算。初等代数(elementary algebra)构成了抽象的第一层级。与算术类似，它也局限于特定类型的数和运算。它通过允许以变量形式表示的不定量(除了数之外)来推广这些运算。抽象代数(abstract algebra)是更高层次的抽象，它不局限于特定场，而是研究群和环等代数结构。它超越了典型的算术运算，还涵盖了其他类型的运算。泛代数(universal algebra)则更为抽象，因为它不关注特定的代数结构，而是研究代数结构的一般特征。

3. 代数分类

下面是一种按课程设置的分类法：

3.1 初等代数

初等代数，又称中学代数和古典代数，是代数最古老、最基本的形式。它是算术的推广，依赖于变量，并研究数学表述如何转换。

算术是研究数值运算的学科，它探究如何运用加法、减法、乘法、除法、乘方、开方和对数等算术运算来组合和转换数。例如，加法运算将两个数(称为加数)组合成第三个数(称为和)，如 2 + 5 = 7 。

初等代数依赖于与算术相同的运算，但除了常规数外，还允许使用变量。变量是未指定或未知量的符号。它们使得我们可以描述那些我们不知道确切值的关系，并表达与使用那些与数无关的一般规律。例如，等式 2 × 3 = 3 × 2 属于算术范畴，它仅表示这两个特定数字之间的等式关系。通过用变量替换这些数，我们可以表达适用于任何可能的数组合的普遍规律，例如乘法交换律，它可以用等式 a × b = b × a 来表示。

初等代数的主要目标是确定使命题成立的值。这可以通过根据某些规则对命题进行变换和运算来实现。指导这一过程的一个关键原则是，对等式一侧进行的任何运算也必须对另一侧进行。例如，如果从等式左侧减去 5，则也需要从右侧减去 5 以使等式两边平衡。这些步骤的目标通常是将感兴趣的变量分离到等式的一侧，这个过程称为求解该变量。

3.2 中等代数

与简单代数相比，中等代数的方程组阶数略高。此外，中等代数还涵盖以下内容：矩阵、求解线性方程组、方程中的不等式、圆锥曲线、多项式方程、线性方程和函数图像。

3.3 多项式代数

在数学中，一个多项式是一个由不确定量(又称变量)和系数构成的数学表达式。其涉及加、减、乘、和非负整数幂(integer powers)的求幂(exponentiation)运算，且其项有限。

多项式在数学和科学的许多领域都有应用。例如，它们被用来构建多项式方程，这些方程涵盖了从简单的文字题到复杂的科学问题等各种问题；它们用于定义多项式函数，这些函数的应用范围从基础化学和物理到经济学和社会科学；它们还用于微积分和数值分析中，以逼近其他函数。在高等数学中，多项式用于构造多项式环和代数簇，它们是代数和代数几何的核心概念。

当多项式视为一个表达式时，其中的不确定量或变量是一个不变量。当将其视为由些多项式定义的一个函数时，变量就表示函数的参数。

3.4 抽象代数

抽象代数是数学的一个分支，也称现代代数，它研究代数结构，其中，群、环和场(domain)是这些代数结构中的最基本的结构。代数结构是理解数学对象运算(例如数的加法)的框架。抽象代数涵盖以下主题：集合、二元运算、逆元、单位元、结合律。初等代数和线性代数在特定的代数结构框架内进行研究，而抽象代数则采用更一般的方法，比较不同代数结构之间的差异以及代数结构的种类。这些代数结构类型之间的关键区别在于它们使用的运算数量和遵循的规律。在数学教育中，抽象代数指的是数学专业本科生在完成线性代数课程后学习的一门高级课程。

3.5 交换代数

交换代数最初称为理想理论(ideal theory)，是代数的一个分支，研究交换环、它们的理想以及此类环上的模(module)。代数几何和代数数论都建立在交换代数的基础上。交换环的著名例子包括多项式环；代数整数环，包括普通整数环ℤ ；以及 p-adic 整数环。

交换代数是代数几何的主要技术工具，交换代数的许多结果和概念都与几何概念密切相关。

对不一定是交换环的环的研究被称为非交换代数；它包括环论、表示论和Banach代数理论。

3.6 线性代数

线性代数是关注线性方程和线性映射、以及使用向量空间和矩阵的表示的一个数学分支。线性代数几乎是所有数学领域的核心。例如，线性代数是现代几何学的基础，包括定义直线、平面和旋转等基本对象。此外，泛函分析(数学分析的一个分支)可以视为线性代数在函数空间中的应用。

线性代数在大多数科学和工程领域都有应用，因为它能够对许多自然现象进行建模，并利用这些模型进行高效计算。对于无法用线性代数建模的非线性系统，线性代数通常用于处理一阶近似，其原理是多元函数在某一点的微分是该点附近函数的最佳近似线性映射。

3.7 布尔代数

在数学和数理逻辑中，布尔代数是代数的一个分支。它与初等代数有两个不同之处。首先，布尔代数中变量的值为真值(true)或假(false)，通常用 1 和 0 表示，而初等代数中变量的值为数值。其次，布尔代数使用逻辑运算符，例如合取(与)∧、析取(或)∨ 和否定(非)¬。而初等代数则使用算术运算符，例如加法、乘法、减法和除法。因此，布尔代数是一种描述逻辑运算的形式化方法，正如初等代数描述数值运算一样。

3.8 泛代数

泛代数(有时也称为一般(general)代数)是数学的一个分支，它研究的是一般的代数结构，而不是特定类型的代数结构。例如，泛代数的研究对象不是群或环(这是群论和环论的研究对象)，而是各种可能的代数结构类型及其相互关系。

在通用代数中，代数(或代数结构)是一个集合 A 以及 A 上的一系列运算。

3.9 同调代数

同调代数是数学的一个分支，它在一般的代数框架下研究同调。这是一个相对年轻的学科，其起源可以追溯到19世纪末组合拓扑学(代数拓扑学的前身)和抽象代数(模(module)和合冲理论(syzygies))的研究，主要由Poincaré和David Hilbert推动。

同调代数研究同调函子及其蕴含的复杂代数结构；它的发展与范畴论的兴起紧密相连。链复形是其核心概念，可以通过它们的同调和上同调进行研究。

同调代数提供了一种方法，可以从这些复形中提取信息，并将其以环、模、拓扑空间和其他“有形”数学对象的同调不变量的形式呈现。谱序列是实现这一目标的有力工具。

它在代数拓扑中发挥了巨大的作用。其影响逐渐扩展，目前涵盖交换代数、代数几何、代数数论、表示论、数学物理、算子代数、复分析和偏微分方程理论等领域。K理论是一门独立的学科，它借鉴了同调代数的方法，Alain Connes的非交换几何也是如此。

3.10 Lie群和Lie代数

在数学中，Lie代数是一个向量空间 𝔤 以及一个称为Lie括号的运算的结合体，Lie括号指的是一个交错双线性映射 𝔤 × 𝔤 ⟶ 𝔤 ，它满足Jacobi恒等式。换言之，一个Lie代数是一个场上的代数，其乘法运算(称为Lie括号)是交错的，并且满足Jacobi恒等式。两个向量x 和 y 的李括号记为 [ x , y ]。Lie代数通常是非结合代数。然而，每个结合代数都可以导出一个Lie代数，该Lie代数由相同的向量空间和交换子Lie括号构成，[ x , y ] = xy – yx 。

Lie代数与Lie群密切相关，Lie群也是光滑流形：每个Lie群都对应一个Lie代数，它是单位元处的切空间(tangent space)。(在这种情况下，Lie括号用于衡量Lie群交换律的失效程度。) 反之，对于实数域或复数场上的任何有限维Lie代数，都存在一个对应的连通Lie群，其在覆盖空间意义下是唯一的(Lie第三定理)。这种对应关系使得我们可以利用Lie代数(线性代数的更简单的对象)来研究Lie群的结构和分类。

3.11 Galois理论

Galois理论是抽象代数的一个分支，它将场论(数系(统)性质的研究)和群论(对称性的研究)结合起来，用于求解多项式方程。它利用多项式根(即方程的解)的对称性，来判断这些根是否能够仅用加、减、乘、除和根式(即方程的根)来表示。该理论以Évariste Galois的名字命名，它提供了一种理解为什么有些方程可以用根式求解而有些则不能的方法。