代数学——多项式

多项式及其因式分解
原创 于 2025-11-27 17:52:40 发布 · 93 阅读 · 2 ·
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#代数学 #多项式 #因式分解 #方程

目录

1.  什么是多项式(polynomial)？

2.  polynomial的词源

3.  多项式与方程的关系

4.  多项式的因式分解

4.1  因式分解的概念

4.2  为何要因式分解？

1.  什么是多项式(polynomial)？

         在数学中，一个多项式是一个由不确定量(又称变量)和系数构成的数学表达式。其涉及加、减、乘、和非负整数幂(integer powers)的求幂(exponentiation)运算，且其项有限。

    多项式在数学和科学的许多领域都有应用。例如，它们被用来构建多项式方程，这些方程涵盖了从简单的文字题到复杂的科学问题等各种问题；它们用于定义多项式函数，这些函数的应用范围从基础化学和物理到经济学和社会科学；它们还用于微积分和数值分析中，以逼近其他函数。在高等数学中，多项式用于构造多项式环和代数簇，它们是代数和代数几何的核心概念。

    当多项式视为一个表达式时，其中的不确定量或变量是一个不变量。当将其视为由些多项式定义的一个函数时，变量就表示函数的参数。

2.  polynomial的词源

    词 polynomial 由两个词根构成：希腊语词根poly(词义为“many(很多)”)和拉丁词根nomen(或name)。其源生于binomial ，只不过用希腊语词根poly-替代了bi- ，即，其指的是很多项(很多单项(many monomials))之和。词 polynomial 第一次使用是在 17 世纪。

3.  多项式与方程的关系

    一个多项式是一个代数表达式，而一个方程则是两个表达式之间相等关系的表述。一个多项式方程是一种特殊类型的方程，其中至少有一边是一个多项式，通常设这个多项式为零。在本质上，是方程利用了多项式来表达等式，然后可以通过求解方程中的变量来求得使等式成立的值。

多项式的根(root)实际上就是使得多项式等于零的变量的值，实际上是多项式方程的根。即方程的解，使得方程成立的值。

4.  多项式的因式分解

4.1  因式分解的概念

所有系数位于唯一分解场(或域)(domain)(例如整数场或某个场)内的多项式都存在一种分解形式，即多项式可以写成若干不可约多项式与一个常数的乘积。这种分解形式在不考虑因子的顺序及其与一个可逆常数的乘积的情况下是唯一的。在复数场中，不可约因子是线性的。在实数场中，它们的次数为一或二。在整数场和比率数场中，不可约因子的次数可以是任意的。

    通常，手动计算因式分解是很困难的，但在大部分计算机代数系统中，一般都已实现高效的因式分解算法。

4.2  为何要因式分解？

    我们需要对多项式进行因式分解，才能解方程、求根(或 x 轴截距)(在多项式方程的情况下)以及简化复杂表达式。因式分解可以将多项式分解成更简单的因子，使其更容易求解、理解和处理，这在工程、科学和金融等领域是一项至关重要的技能。

   

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