理解数学概念——单调性

1. “monotonicity”[ˌmɒnətəˈnɪsətɪ]的词源

单词 “monotonicity”由形容词“monotonic”+ “-ity”构成。而“-ity”是由形容词构成抽像名词的构词元素，其词义为“……的状态或性质”,一般译为“……性”。因此，我们只需分析“monotonic”[ˌmɒnəˈtɒnɪk]的词源即可。

“monotonic”原本用于音乐中等，词义为“关于或属于一个单一的、不变的音符(of or pertaining to a single, unvarying note)”，始于1797年，由构词前缀mono-(源自希腊语的构词元素，词义为“一个，单个，单独；包含一个(原子，等等)(one, single, alone; containing one (atom, etc))”) + tonic(形容词，在音乐中，其词义为“关于、属于、或基于主音符的(of, pertaining to, or based on the key note)”))构成。

而形容词的“tonic”由其名词“tonic”词性转化而来，在音乐的意义上，指的是“主音符(key-note)”(始于1806年)，是对“tonic note”(1760年)的简称，由音乐意义上的“tone”+ “-ic”(名词构词元素，词义广泛，词义有“与……有关，具有……的特征，逞现……，构成，由……引起，类似于……(having to do with, having the nature of, being, made of, caused by, similar to)”)构成。而单词“tone”的词义为“音调，音乐声音或音符(musical pitch, musical sound or note)”。

因此，“monotonicity”这个词原本表示的音乐中的“单个音符或单个主音符这种性质”。

2. 调与主音符(Key and the Tonic (or Keynote or Doh))

主音(tonic)(也称为“基调(keynote)”或有时称为“doh”)是一首音乐中最重要的音符(note)。 这是我们通常期望一首歌结束的音符(尽管有很多例外！) 这是感觉就像目的地的音符，所有其他音符都试图回到那里。

音符是用以记录音的高低与音的长短的符号。如下图所示：

音符是由三个部分组成的，即符头、符干、符尾。

音符的符头是椭圆形，因为音的时值不同，符头可以是空心的，也可以是实心的。实心的符头既可以有符干，也可以同时有符干和符尾。空心的符头可以有符干，但不会有符尾。

主音(tonic)也是音阶中的第一个(也是最后一个)音符——它是起点和终点。

单调(monotone)是指具有单一不变音调的声音，单旋律的音乐，即不附带任何对位声部、衬托句及伴奏等，只有一条单纯的旋律线。

3. “monotonicity”的数学意义

    目前，并没有查到是哪位作者将音乐中的“单调”引入到数学中来形容这种“只有一种变化趋势”的性质。

在数学中，我们把某个数学对象的“一种变化趋势”类比于音乐中的“一种调”，我们说其具有单调性，就是指在一定限定条件下其只有一种变化趋势，不会有两种或多种。在微积分和序理论中都涉及单调性。