什么是谐波

                                                                 什么是谐波

目录

1. 问题的提出

2. “谐”字在中英文中的原意

2.1 “谐”字在汉语中的原义

2.2 “谐”字对应的英语词的原义

3.“harmonics(谐波)”概念是谁引入物理学中的？

4.“harmonics(谐波)”的数学解释

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1. 问题的提出

“谐波”这个术语用于各种学科，包括音乐、物理、数学、声学、电力传输、无线电技术和其他领域。 例如，如果基波频率为 50 赫兹，这是一个普通的交流电源频率，则前三个高次谐波的频率为 100 赫兹（二次谐波）、150 赫兹（三次谐波）、200 赫兹（四次谐波）和任意加法 具有这些频率的波的周期性为 50 Hz。因此，这个概念应用相当广泛，有必要弄清楚它。

2. “谐”字在中英文中的原意

2.1 “谐”字在汉语中的原义

“谐”字，用另一个异体字解释，就是“詥(hé)”,言合(说话合得来，合众意，合众意那自然就顺，就和气，表达的就是这个意思)，就是和洽(和睦融洽)。这个词用在音乐中，表达的词义就是“能让人听了之后心平气和的声音，能让人心情愉快的声音，能让人顺和的声音”，人如果听了一段美妙的声音，心情往往就顺畅，产生舒适感；反之，就容易暴怒，甚至投拆别人制造“噪音”。因此，人们喜欢听的声音，就称为“和声”、或者“谐声”、或者“和谐声”、或者“乐声”。没有几个人喜欢听“噪音”而且听了噪音还“心情顺畅”的，或许有，我们一般将之归为“异类”。那么，从物理学上来分析，为什么这两种声音“和谐声”和“噪音”会给人带来两种截然不同的感受呢，它们到底有什么特征上的区别呢，这就是我们后面要回答的问题。

2.2 “谐”字对应的英语词的原义

在英语中，与“谐”字相关的词主要有两个：“harmony”和“harmonic”。下面分别讲一讲它们的词源。

(1) harmony[ˈhɑːməni] n. 始于14世纪晚期，词义为“combination of tones pleasing to the ear (悦耳的融合音调)”，来自古法语“harmonie”和“ armonie”，词义为“和声”，此外，也用于音乐乐器名称(12世纪)，来自拉丁语“harmonia”，其又来自古希腊语“harmonia”，在古希腊语中的词义为“agreement, concord of sounds (一致的，和谐的声音)”。可以看出，这个词最初词义来自音乐。

(2) harmonic[hɑːˈmɒnɪk] adj. 始于1560年代，词义为“relating to music(与音乐相关的)”，来自拉丁语“harmonicus”，其又来自古希腊语“harmonikos”,词义为“harmonic, musical, skilled in music(和谐的，音乐的，精于音乐的)”，来自“harmonia ”(见“harmony”)，词义“tuneful, harmonious; relating to harmony(悦耳的，和谐的，和和谐相关的)”始于1660年代，1500年代早期词义为“armonical ”，词义为“悦耳的，和谐的”。“harmonic”作为名词使用时，实际是“harmonic tone(谐音、和音、和声)”的简写，始于1777年。

    从中英文对应的词来说，“谐”这种意义都来自音乐，即乐声，和声。

3.“harmonics(谐波)”概念是谁引入物理学中的？

在大英百科全书中查到这个词的一段话：

Among Ptolemy’s earliest treatises, the Harmonics investigated musical theory while steering a middle course between an extreme empiricism and the mystical arithmetical speculations associated with Pythagoreanism. Ptolemy’s discussion of the roles of reason and the senses in acquiring scientific knowledge have bearing beyond music theory. (在托勒密最早的论文中，“和声学”研究了音乐理论，同时在极端经验主义和与毕达哥拉斯主义相关的神秘算术推测之间走了一条中间路线。托勒密关于理性和感官在获取科学知识中的作用的讨论超越了音乐理论。)

从这段话来看，最早在声学研究中使用这个概念的人是Ptolemy(公元100年——公元170 年)。也就是说，“harmonic”这个词最早也是和声音相关的。此外，Ptolemy研究声音时著了一部书叫<<Harmonica>>(谐和论，3卷)。在<<谐和论>>这部著作中，Ptolemy阐释了他的数理音乐观：“旨在建立音调是声音的定量属性的一种命题”，Ptolemy认为音调是声音在数量(quantitative)上的一种特性。

而“谐波”这个概念，据传起源于物理电磁学，电力系统的谐波问题早在20世纪20年代和30年代就引起了人们的注意。当时在德国，由于使用静止汞弧变流器而造成了电压、电流波形的畸变。1945年J.C.Read发表的有关变流器谐波的论文是早期有关谐波研究的经典论文。

4.“harmonics(谐波)”的数学解释

     根据Fourier定理的数学思想，任意周期函数都可以写成角频率为ω, 2ω, 3ω, 等等的无穷多项正弦函数和余弦函数的和。这些频率中的最小频率(即，ω)称为基础频率或基频(fundamental frequency)，而其更高的倍频称为谐波(harmonics)。因此，我们说谐波，一定是基于一个基频而言的。

“harmonic”这个词来自音乐。乐音(a musical sound)——音调(a tone)——是由物质体(如小提琴弦(a violin string)或长笛的气柱(the air column of a flute))有规律的(regular)、周期性的振动(periodic vibrations)产生的。 这些有规律的振动会在耳朵中产生一种音高感(a sense of pitch)(pitch——音高，音符的高低度)，可以将其写为乐谱上的音符(musical staff)。相比之下，非音乐性的声音——噪音(noises)——是不规则、随机振动的结果，它们通常缺乏音高感。那么，音乐就是周期性振动的范畴(realm)

乐音的音高由其振动频率决定：频率越高，音调越高。例如，音符(note) C(五线谱上的“中央C”)对应264赫兹(hertz)的频率，或周期每秒；音符 A 高于 C，达到440赫兹，音符C’ 高于C一个八度音阶(octave)，达到528赫兹。[8]音程(Musical intervals)对应频率比率(ratios)：一个八度音阶对应的比率为 2:1，五度音阶对应3:2，四度音阶对应4:33，依此类推(名称“八度音阶”、“五度音阶”和“四度音阶”源自这些音程在音阶(musical scale)中的位置)。

这个最简单的乐音(musical tone)是纯音(pure tone)；它是由正弦波产生的，或者——用一个物理学术语来说——由简单的谐振动(simple harmonic motion)(注：谐，用另一个字解释，就是“詥(hé)”,言合(说话合得来，合众意，合众意那自然就顺，就和气，表达的就是这个意思)，就是和洽(和睦融洽)；体现在声音中，就是悦耳的声音，相对于读噪声而言。)产生的。纯音可以由电子合成器(electronic synthesizer)产生，但所有乐器产生的自然音调的波形图(wave profiles)虽然是周期性的，但相当复杂(图 1)。然而，根据Fourier定理，这些音调总是可以分解成它们的简单正弦分量——它们的分音(partial tones)。那么，音乐音调是复合音调(compound tones)，其组成正弦波是基频(最低)频率的谐波(这些波的频率总是基频率的整数倍)。

-----------------------------图1 一段音乐音调的声波图------------------------

乐音的谐波不仅仅是数学抽象：训练有素的耳朵实际上可以听到它们。事实上，正是这些谐波赋予了音调特有的“色彩(color)”——它的音乐质感(musical texture)。(风琴的)小号(trumpet)之所以能发出美妙的声音，是因为它含有丰富的和声(rich harmonic content)； 长笛的声音谐波差，因此“色彩圆润(mellow)(图2)。每种乐器都有其特有的声谱(acoustic spectrum)——谐波成分的特征。令人惊奇的是，人耳可以将复合音分解成其组成的纯音，并分别听到每个纯音，就像棱镜将白光分解成彩虹色(“频谱(spectrum)”的名称由此而来)。 耳朵实际上是一个Fourier分析仪。

------------------------图2 小号(左)和长笛(右)的声谱波形图-------------------

在19世纪，这些想法是新奇的：科学家和音乐家发现很难相信一个音调实际上是其所有谐波分量的代数和。伟大的德国物理学家和生理学家赫尔曼·路德维希·费迪南德·冯·亥姆霍兹(Herman Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821-1894)通过使用谐振器(Resonator)证明了分音(partial tones)的存在——谐振器是各种尺寸的小玻璃球，每个都能增强复合音中的一个特定频率(图3)。一系列这样的谐振器形成了一个类似于人耳的原始Fourier分析仪。Helmholtz也做了相反的事情：通过组合不同频率和振幅的不同简单音调，他能够模仿实际乐器的声音，预见了现代电子合成器。

------------------------图3 谐振器(Resonator)--------------------------------

当我们在乐谱中写下谐波集 1，2，3，...，我们得到图4所示的音符序列，在音乐理论中，它起着至关重要的作用：正是从这个序列中得出了基本的音程。[12] 这个序列应该与数学级数 1 + 1/2 + 1/3 + ...同名，这并非巧合：后者的项正好是前面项的谐波周期。此外，级数1 + 1/2 + 1/3 + ...的每一项恰好是其前后两项的谐波均值(harmonic mean) (即前后两项的倒数的算术平均值的倒数)[13]。这些只是“谐波”一词在数学中多次出现的两个例子，反映了人类思想的这两个伟大创造之间的密切联系。

------------------------图4 谐波级数(The harmonic series)---------------------

当然，Fourier定理的重要性不仅限于音乐：它是所有周期现象的核心。 Fourier自己将定理扩展到非周期函数，将它们视为周期函数的极限情况，其周期接近无穷大。然后，Fourier级数被表示在所有频率上的正弦波的连续分布的积分所取代。事实证明，这个想法对本世纪初量子力学的发展具有极其重要的意义。Fourier积分的数学比级数复杂，但其核心是构成所有三角学支柱的两个相同函数：正弦和余弦。

    因此，从音乐这个角度来说，这种波对应的声音是乐声，是和音，而且是多种和音的合成音；而从数学上来分析，这种波的特点就是存在一个基频，其它波的特点就是它们的频率都是这个基频的整数倍；因为这种和声可以合成，反过来说，满足这种条件的合成音，听起来就是和音，就不是杂乱无单的噪音。

参考资料：

1. <<Trigonometric Delights>> 作者：Eli Maor

2. 大英百科全书(网络版)

3. <<汉语大字典>> 四川辞书出版社，崇文书局

4. 英语词源网：https://www.etymonline.com/

5. 其它网络资源