趣味三角——第13章——地图师的乐园

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原创最新推荐文章于 2026-08-24 16:21:16 发布 690 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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第13章节地图师的乐园(A Mapmaker’s Paradise)

What’s the good of Mercator’s North Poles and

Equators, Tropics, Zones and Meridian Lines?

So the Bellman would cry: and the crew would reply,

“They are merely conventional signs!”

(Mercator的北极和赤道、热带、地带和子午线有什么好处？所以行李员会哭：而船员则会回答：“它们只是常规标志！”)

——Lewis Carroll (Charles Dodgson), 狩猎蛇鲨(The Hunting of the Snark)(1876)

现在，我们从Euler公式的崇高之美(sublime beauty)转向更平凡的(mundane)事情：地图制作科学。众所周知，将橘子皮压在桌子上而不撕开它们是不可能的：无论一个人多么小心地做这项工作，都不可避免地会出现一些变形。令人惊讶的是，直到18世纪中叶，这个事实才在数学上得到证明，而正是Euler证明了这一点：他的定理表明，不可能将球体映射到一张平面纸上而不会变形。如果地球是圆柱体或圆锥体，地图绘制者(mapmaker，下称“地图师”)的任务会更容易：这些表面是可展开的(developable)——它们可以被展平而不会收缩或拉伸。这是因为这些表面虽然是弯曲的，但本质上具有平面的几何形状。但是球体的基本几何结构与平面的基本不同。因此，人们无法制作出忠实再现其所有特征的地球地图。

为了解决(cope with)这个问题，制图师(cartographers)设计了多种地图投影(map projections)——为球体(sphere)上的每个点分配地图上的“图像(image)”点的函数(在数学意义上)。特定投影的选择取决于地图的预期目的；一张地图可能显示地球上两点之间的正确距离(当然取决于比例因子(scaling factor))，另一张地图显示国家的相对面积，还有一张显示两点之间的方向。但是保留这些特征中的任何一个总是以牺牲其他特征为代价：每个地图投影都是相互冲突的需求之间的妥协。

最简单的是圆柱投影(cylindrical projection)：想象地球(earth)——由一个半径为 R 的完美球体(globe)表示——被包裹(wrapped)在一个在赤道(equator)处与圆接触的圆柱体中，(图77)。进一步想象，光线从地球中心向四面八方发射。然后将地球上的点 P 投影到点P’ 上，即 P 在圆柱体上的“阴影”或“图像”。当圆柱体展开时，我们得到了整个地球或几乎整个地球的平面地图：北极和南极位于圆柱体的轴上，其图像位于无穷远处。

-----------------------图 77 球体(globe)的圆柱体投影--------------------------------------------

显然，圆柱投影将所有经度圆(circles of longitude)(注：在古汉语中，“经”字原本表示织物的纵线，因此，经是“纵”的意思，经线即指“纵向的线”)(子午线(meridians))(注：在古代，人们用的罗盘上的地支中的“子”正好在北，“午”正好南，而用子午来代指经线源于日本)映射到等间距的垂直线上，而纬度圆(circles of latitude)(或“平行线(parallels)”，在地理学中称为“平行线”)显示为水平线，其间距随纬度增加。为了找到点P与其图像P’ 之间的关系，我们必须首先用经度(从本初子午线到英国格林威治沿赤道向东或向西测量)和纬度(向北测量)来表示 P 的位置或从赤道沿任何子午线向南)。用希腊字母λ 和Φ分别表示P点的经度和纬度，P’ 点的坐标分别用x和y表示，我们有

x = Rλ ，y = R tan Φ 。-------------------------------------------------(1)

圆柱投影最显着的特征是高纬度地区过度的南北拉伸，导致大陆形状的急剧扭曲(图 78)；当然，这是等式(1)中的第二项存在tan Φ导致的结果。圆柱投影经常与表面上相似的Mercator投影相混淆；然而，除了两者都使用矩形网格外，这两个投影基于完全不同的原理，我们很快就会看到。

-----------------------图 78 基于圆柱体投影的世界地图-------------------------------------------------

这第二种投影，在公元前2世纪, Hipparchus就已经知晓，称为立体投影(stereographic projection)。我们将地球仪放在一张平面纸上，在南极 S 处与地球仪接触(图 79)。现在，我们将球体上的每一点通过一条直线与地球北极N连接起来，并将直线延长直到它与地图平面上的P’ 点相会；P’ 点是在投影法则下的P点的图。

---------------------------------------------图 79 北极点的立体投影------------------------------------------

立体投影将所有子午线显示为从南极 S 辐射的直线，而纬度圆显示为围绕S的同心圆。赤道过渡到圆 e，我们可以将其视为单位圆。然后将整个北半球映射到e的外部，将南半球映射到其内部。一个点离北极越近，它的图像在地图上就会越远。地球上有一点在地图上没有图像：北极本身。它的图像在无穷远处。

令单位圆有一个单位直径；这将使得这个单位圆具有单位半径(地图上的赤道)。现在，考虑球体上的具有纬度Φ的一点P。我们希望确定其在地图上的位置P’。图80显示了地球的一个横截面(a cross section)，E表示赤道上的某一点；我们有 SN = 1，∠ONE = 45°，∠EOP = Φ，而∠ENP = Φ/2。因此，∠ONP = (45°+ Φ/2),则地图上P’ 点的位置距离南极的距离为

SP’ = tan (45°+ Φ/2)。----------------------------------------(2)

------------------------------------------图 80立体投影和几何图示------------------------------------------

等式(2)导出了一个有趣的结论。令P和Q为球体上具有相同的经度且具有相反纬度的两点。它们的图像将在地图上如何关联呢？在等式(2)中，我们用-Φ替代Φ，我们得到

${SQ}' = tan (45^{\circ}- \Phi/2) = \frac{1-tan(\Phi/2)}{1+tan(\Phi/2)}= \frac{1}{tan(45^{\circ}+ \Phi/2)} = \frac{1}{{SP}'}$ 。

因此，SQ’. SP’ = 1 。平面上满足此条件的两点称为单位圆的反点(inverse points)；因此，立体投影将地球上经度相等但纬度相反的两个点发送到地图上两个相互相反的点。这使我们能够从反演理论中推导出立体投影的所有属性。众所周知，例如，当对每条曲线进行反演时，两条曲线的交角保持不变(unchanged)或恒定(invariant)。由此可以看出，立体投影是保向的(direction reserving)或共形的(conformal，保角的，正形的，等形的)；也就是说，地球上的小区域在地图上保持其形状(因此得名等形)。[1] 图 81 显示了立体投影中的北半球，其中地球在北极(而不是南极)与地图接触；显然，大陆的形状与地球上的形状很接近。

---------------------------------------图 81 按立体投影的地图上地球北半球-------------------------------------

在第10章中，我们遇到了等距方位图，它显示了从给定固定点到地球上任何其他点的真实距离和方向。但是，此地图上不保留任何其他两点之间的距离和方向；因此，它在导航方面的用处非常有限。人们宁愿有一张显示从地球上任何一点到任何其他点的正确方向或罗盘方位的地图。但直到 16 世纪中叶，还没有这样的地图。

试想一下，您是一艘即将离开港口并朝某个方向行驶的船的领航员。你将指南针设置在你选择的方位上，比如北偏东45度，然后坚定地跟随那个方位，忽略——为了争论——任何可能挡在你路上的陆地。你会走哪条路？多年来，人们一直认为，一条恒定方位的路径——被称为等向线(rhumb line)或等角线(loxodrome)[2]——是一个大圆弧(见第136页)。但葡萄牙人(Portuguese) Pedro Nuñes(或Nonius，1502-1578)表明，恒向线实际上是一条螺旋曲线(spiral curve)，它越来越接近任一极点，无限期地绕着它但永远不会到达它。荷兰艺术家 Maurits C. Escher(1898-1972年)在他的作品之一<<Sphere Surface with Fish>>(鱼组球面)(1958年)中描绘了等向线，如图 82 所示。

十六世纪地图师面临的挑战是设计一种地图投影，将所有等向线显示为直线。这样的地图将使航海者能够通过一条直线将他的出发点和目的地连接起来，测量这条线与北方之间的角度或方位，然后在海上沿着这个方位前进。然而，在所有现有的投影中，地图上划出的直线航线并不对应于海上的等向线。因此，航行是一项极其棘手的工作——也是一项危险的工作，因为许多人因船只未能到达目的地而丧生。发生Flemish制图师前来营救水手这样的事。

Gerardus Mercator是公认的历史上最著名的地图师，他于1512年3月5日出生于Flanders(现为比利时，但当时属于荷兰的一部分) Rupelmonde的Gerhard Kremer，就在二十年前，克里斯托弗·哥伦布 (Christopher Columbus)进行了他历史性的新大陆航行，年轻的克雷默(Kremer)的想象力被新的地理发现点燃年轻的。他于1530 年进入鲁汶大学(Louvain)，毕业后不久就确立了自己作为欧洲领先的地图师和仪器设计师之一的地位。按照当时有学问的人的习惯，他将自己的名字拉丁化为Mercator(“商人”，荷兰语 kramer 的直译)，从此他就以这个名字为人所知。

1544 年，Mercator因在天主教国家信奉新教而被作为异教徒逮捕，他前途无量的职业生涯受到了威胁。他勉强保住了性命，随后逃到邻近的Duisburg(现在的德国)，并于1552 年定居在那里。他在那里度过了他的余生。[3]

在Mercator之前，地图师用奇思妙想的神话人物和他们自己创造的虚构土地来装饰他们的图表：他们的地图更像是艺术品，而不是地球的真实表现。Mercator是第一个完全根据探险家收集的最新数据绘制地图的人，并以此将制图学从一门艺术转变为一门科学。他也是第一个将单独的地图集装订成一册的人之一，称其为“地图集(atlas)”，以纪念装点扉页的这位掌管地球的传奇神话人物；这部作品分三部分出版，最后一部分出版于1595年，也就是他死后一年。[4]

正是在1568年，Mercator为自己设定了一项任务，即发明一种新的地图投影，以满足航海者的需求，并将全球航海从随意(haphazard)、冒险的尝试转变为一门精确的科学。从一开始他就遵循两个原则：地图将被布置在一个矩形网格上，所有纬度圆都用平行于赤道且长度相等的水平线表示，所有子午线都用垂直于赤道的垂直线表示；并且地图将是共形的，因为只有这样的地图才能保持地球上任意两点之间的真实方向。

现在,在地球上，纬度圆的大小随着纬度的增加而减小，直到它们缩小到任一极点(pole)。但在Mercator的地图上，这些相同的圆圈显示为等长的水平线。因此，地图上的每条平行线都被水平拉伸(即，沿东西方向)，拉伸系数取决于该平行线的纬度。图 83 显示了一个纬度为Φ的圆。它在球面上的周长是2πr = 2πR cos Φ ，而在地图上它的长度是2πR；因此，通过因子2πR/(2πR cos Φ) = sec Φ实现伸缩。注意，这个伸缩因子是Φ的函数：纬度越高，伸缩比率越大，如表6所示。

--------------------------------------------图 83 球面上纬度为Φ的圆---------------------------------------------

------------------表6 挑选出的某些纬度的sec Φ值-------------------------------

现在Mercator准备亮出他的王牌：为了让地图等角，东西向的纬线伸缩必须伴随着纬线间距的相等的南北向伸缩，而这个南北向的伸缩是渐进的，随着走向更高的纬度而增加。换句话说，在地球上沿每条子午线等距分布的纬度必须在地图上逐渐增加(图 84)。这是他的地图背后的关键原则。

--------------------------------------------图 84 Mercator地图网格-------------------------------------------------

然而，为了实施这个计划，必须首先确定连续平行线之间的间距。Mercator究竟是如何做到这一点的，我们不得而知(制图史学家仍在争论不休)；[5] 除了印在他的地图上的以下简要说明外，他没有留下任何关于他的方法的书面记录:

In making this representation of the world, we had to spread on a

plane the surface of the sphere in such a way that the positions of

places shall correspond on all sides with each other both in true

direction and in distance. . . .6 With this intention we had to employ

a new proportion and a new arrangement of the meridians with

reference to the parallels. . . . For these reasons we have progressively

increased the degrees of latitude towards each pole in proportion to

the lengthening of the parallels with reference to the equator.7

(在制作这个世界的表示时，我们必须在一个平面上展开球体的表面，使得各个地方的位置在真实方向和距离上都应相互对应。……[6] 出于这个目的，我们不得不采用新的比例，并根据平行线对经线进行新的布置。……由于这些原因，我们逐渐增加了朝向每个极点的纬度，与相对于赤道的纬线的延长成比例。[7])

即使是这种模糊的解释也清楚地表明，Mercator完全掌握了他的地图背后的数学原理。在创建了他的网格之后，他现在剩下的工作就是将皮肤与骨骼结合起来——在这个网格上叠加他那个时代所知道的大陆轮廓。他于 1569 年出版了他的世界地图(或“航海图(chart)”，因为水手们(mariners)更喜欢这样称呼它)，标题为“世界土地的新的且改进的描述，经过修订并旨在供航海者使用(New and Improved Description of the Lands of the World,amended and intended for the Use of Navigators)”。这是一张巨大的地图，印有二十一个部分，尺寸为 54 x 83 英寸。它是有史以来最珍贵的制图文物之一：原件仅存三份。[8] Mercator于 1594 年 12 月 2 日在Duisburg逝世，长寿为他带来了名望和财富。然而，他最著名的成就，即以他的名字命名的地图，并没有立即被海事界所接受，他们无法理解它对大陆形状的过度扭曲。事实上，Mercator没有充分说明他是如何“逐渐增加”纬线之间的距离的，这只会增加混乱。英国数学家和仪器制造商Edward Wright(约 1560–1615年)首次准确说明了Mercator地图的基本原理。在题为 “Certaine Errors in Navigation……”的作品中(于 1599 年在伦敦出版)，他写道：

The parts of the meridians at euery poynt of latitude must increase

with the same proportion wherewith the Secantes increase. By

perpetuall addition of the Secantes answerable to the latitude of each

parallel vnto the summe compounded of all former secantes . . . we

may make a table which shall truly shew the points of latitude in the

meridians of the nautical planisphaere. 9

(在每个纬度点的子午线部分必须以与正割线增加相同的比例增加。通过将与每个平行线的纬度相关的正割线永久添加到所有前正割线的总和上……我们可以制作一张表格，真正显示航海平面图子午线上的纬度点。[9])

换句话说，Wright使用了“数值积分(numerical integration)”计算 $\int_{0}^{\phi}sec(\Phi)d\Phi$ 的值。让我遵从他的计划，用现代的概念描述去描述它。图85展示了一个球面矩形(spherical rectangle)，它由经度圆λ和λ + Δλ，以及纬度圆Φ + ΔΦ 定义，其中λ和Φ以弧度度量。(因为“0子午线(zero meridian)”的选择是任意的，所以只有纬度差Δλ展现在图中。) 矩形边的长度分别为(R cos Φ)Δλ 和 RΔΦ ，令球体上的一点P(λ, Φ)越过地图上的一点P’(x, y)(其中，y = 0 对应赤道(equator))。则球面矩形将被映射到由x，x + Δx，y和y + Δy定义的平面矩形,其中Δx = RΔλ。现在，地图同形的要求意味着这两个矩形必须“相似”(反过来，意味着从P(λ, Φ)到邻近点Q(λ + Δλ , Φ + ΔΦ)的方向与它们在地图上的方向上是相同的)。因此，我们导出了如下的等式

$\frac{\Delta y}{R\Delta \lambda } = \frac{R\Delta \Phi}{Rcos(\Phi)\Delta \lambda}$

或

Δy = (R sec Φ )ΔΦ -------------------------------------------------------(3)

用现代术语来说，方程(3)是一个“有限差分(finite difference)”方程。它可以通过逐步过程进行数值求解：我们置 $\Delta y_i = y_i - y_{i-1},i = 1, 2, 3, ... ,$ 并且取决于一个递增值ΔΦ。以分子 ( $y_0 = 0$ ) 开始，我们按ΔΦ递增Φ，从方程(3)求得 $\Delta y_1$ , 则 $y_1 = y_0 +\Delta y_1$ ；我们又按ΔΦ递增Φ , 并求得 $y_2 = y_1 +\Delta y_2$ , 如此执行下去，直到覆盖期望的纬度范围。这种数值集分是一个乏味，耗时的过程——除非有可编程计算器或计算机，对于Wright来说，这两种工具都不可得。尽管如此，他还是通过该计划进行了，不断地以一分钟的弧度间隔添加割线。[10] 他在“子午部分”表中发布了从0°到75°的纬度结果。因此，终于知道了Mercator地图的构建方法。

-----------------图 85 球面上的球面矩形及其在Mercator地图上的投影---------------------------

当然，在今天，我们可以将方程(3)写成差分方程(difference equation)：我们令ΔΦ和Δy成为无穷小量，以微分的形式得到

$\frac{d\Phi}{dy} = R sec \Phi , ------------------------------(4)$

此方程的解为

$\int_{0}^{\Phi}sec(t)dt-----------------------------(5)$

(在积分式中，我们已经使用了t代替Φ，用以区分积分变量和积分上限)。今天，这个积分作为第二学期微积分课的练习给出(我们稍后会详细介绍)。但是Wright的书比牛顿和莱布尼茨发明微积分早了大约70年，所以他无法利用其中的技术。他别无选择，只能求助于数值积分。

作为一名学者，Wright为精通数学的读者写了这本书。但对普通水手来说，这样的理论解释意义不大。因此，Wright设计了一个简单的物理模型，他希望能向外行解释Mercator地图背后的原理：想象我们将地球包裹在一个圆柱体中，并沿着赤道接触它。让球体“像膀胱一样膨胀(swell like a bladder)”，使其表面的每个点都与圆柱体接触。打开圆柱体后，您会得到一张Mercator地图。

不幸的是，对于后人来说——这不是Wright的错——这个描述模型成为了一个长期存在的神话的来源：Mercator地图是通过将光线从地球中心投射到包裹圆柱体上获得的(这实际上产生了圆柱投影，我们在本章前面讨论过)。从技术上讲，Mercator的“投影”根本不是投影，至少不是这个词的几何意义上的投影：它只能通过数学程序获得，其核心涉及无穷小过程，因此涉及微积分。Mercator本人从未使用过圆柱体概念，他的投影——除了表面上的相似——与圆柱体投影毫无关系。但神话一旦被创造出来，其消亡就是一个漫长的过程，即使在今天，人们仍能在许多地理教科书中找到这方面的错误陈述。

其他误解来自地图对高纬度地区土地的过度扭曲：例如，格陵兰岛看起来比南美洲大，但实际上它只有南美洲的九分之一。此外，连接地图上两点的直线段并不代表它们在地球上的最短距离(除非两点都在赤道上或在同一子午线上)，如图86所示。这些“缺点”经常被用来批评Mercator地图。一位与Wright同时代的匿名人士显然被这种不公正的批评所冒犯，他用这些话发泄了他的挫败感：

Let no one dare to attribute the shame

of misuse of projections to Mercator’s name;

but smother quite, and let infamy light

upon those who do misuse, publish or recite.

(让任何人都不敢将滥用投影的耻辱归咎于Mercator的名字；但要完全止息，就必须让那些滥用、出版或诵读的人臭名昭著。)

正如我们所见，Mercator人已经意识到没有一张地图可以同时保持距离、形状和方向。考虑到导航员的需要，他选择牺牲距离和形状以保持方向。然而，许多人对世界的认知仍然来自于挂在高中教室墙上的大幅Mercator地图。

-----------------图 86 Mercator投影上的恒向线(等角线)和大圆弧。------------------------------------

Wright的书出版于1599年，即Mercator出版他的新世界地图三十年后。慢慢地，航海界开始意识到地图对航海家的巨大价值，并在适当的时候成为全球航海的标准地图，这一地位一直保持至今。当美国宇航局在1960年代开始太空探索时，一幅巨大的Mercator地图占据了得克萨斯州休斯敦的任务控制室，卫星的轨迹在上面得到持续监测。由先驱者号和航海者号宇宙飞船近距离拍摄的木星和土星卫星的第一张地图，就是在他的投影上绘制的。

但是让我们回到 17 世纪，故事现在转到了数学领域。1614年，苏格兰的John Napier(1550-1617年)发表了他发明的对数，这是自中世纪印度-阿拉伯数字系统传入欧洲以来对计算数学最重要的帮助。[11] 此后不久，Edmund Gunter(1581-1626年)，一位英国数学家和牧师，发表了对数正切表(1620)。大约在1645年，数学老师和航海权威Henry Bond将这张表与Wright的子午线表进行了比较，并惊讶地发现这两个表是匹配的，前提是Gunter表中的条目被写成(45°+ Φ/2)。他猜测(conjectured)， $\int_{0}^{\Phi}sec(t)dt$ 等于 ln tan (45°+ Φ/2)，其中，“ln”代表自然对数(基底e = 2.718...的对数),但是，他不能证明它。很快他的猜想成为1650年代最突出的数学问题之一。John Collins、Nicolaus Mercator(与Gerhard无关）、Edmond Halley(因彗星成名)和其他与Isaac Newton同时代的人都积极参与了导致微积分发明的发展，但均未成功。

终于，在1668年，James Gregory，我们已经在Gregory-Leibniz级数方面见过的他，成功地证明了Bond的猜想；然而，他的证明是如此困难，以至于Halley谴责它充满了“复杂性”。因此，在牛顿之前担任剑桥大学卢卡斯数学教授的Isaac Barrow(1630-1677年)对Bond猜想(1670年)给出了“智能”证明。在这样做的过程中，他似乎是第一个使用分解成部分分数的技术的人，在解决许多不定积分方面非常有效。他的证明的细节在附录2 中给出。

现在，我们根据球面上对应的一点P的经度λ和纬度Φ在Mercator地图上的一个位置记下P’ 点的坐标(x，y)。差分方程Δx = RΔλ(第174页)具有明显的解x = Rλ ，出现在方程(5)中的积分等于ln tan (45°+ Φ/2)；因此，我们有

x = Rλ ， y = R ln tan (45°+ Φ/2) 。[12]--------------------------------(6)

图 87 显示了Mercator地图上的世界；由于高纬度地区的南北向过度拉伸，该地图仅限于从北纬 75°到南纬 60°的纬度范围。

---------------------------图 87 Mercator的世界地图---------------------------------------------------------

但我们的故事还没有完全结束。读者可能已经注意到，在方程(6)中的对数内部的表达式tan (45°+ Φ/2)与方程(2)中与立体投影相关的部分是一样的。这并非巧合。十八世纪数学的伟大成就之一，是将诸如sin(x)， $e^x$ ，以及ln(x)这样的普通函数的代数,扩展到自变量x的虚数(imaginary)甚至复数(complex)。这一发展始于Euler，并在 19 世纪以复变函数理论达到顶峰。正如我们将在下一章中看到的那样，这种扩展使我们能够将Mercator投影视为通过函数w = ln u的立体投影的共形映射(在数学和地理意义上)，其中u和w是复数变量。

注释和资料来源：

1. 可以在我的书<<To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite>>(无限与超越：无限的文化史)( 1987初版: Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1991重印)中的第95-98页以及239-245中找到关于立体投影及其与反演关系的详细讨论。对于其它的地图投影，参见Charles H. Deetz 和 Oscar S. Adams的著作<<Elements of Map Projection >>(地图投影要素)( New York: Greenwood Press, 1969年版),以及John P. Snyder的著作<<Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections>>(扁平化地球：两千年的地图投影)( Chicago:University of Chicago Press, 1993年版)。

2. 来自希腊语loxos(=slanted)，以及dromos(=course),即，一条斜线。该术语由荷兰(Dutch)科学家Willebrord van Roijen Snell(1581-1626年)于1624 年创造，他以光学折射定律而闻名。

3. 尽管他名声在外，但没有完整的英文版Mercator传记。关于他生平的更多细节，参见Lloyd A. Brown的著作<<The Story of Maps>>(地图的故事)(1949年初版; New York: Dover, 1977年重印)第134-136页以及第158-160页；Robert W. Karrow的著作<<Mapmakers of the Sixteenth Century and Their Maps>>(16世纪的地图师和他们的地图) (Chicago: Speculum Orbis Press, 1993年出版)第56章；以及John Noble Wilford的著作<<The Mapmakers>>(地图师)( New York: Alfred A. Knopf，1981年出版)第73-77页。

4. 这个想法的优先权归功于与Mercator同时代的Abraham Ortelius(1527-1598 年)，他的 <<Theatrum orbis terrarum>>于1570 年出现在Antwerp，被认为是第一本现代地图集。然而，“地图集(atlas)”这个词是Mercator发明的。Mercator和Ortelius在他们的领域是竞争对手，但保持着友好的关系。

5. 关于这个主题，参见Snyder的<<Flattening the Earth>>中的第47页。

6. Mercator很快意识到他无法同时满足这两个要求：他的地图无法同时保留方向和距离，因此他放弃了距离要求。

7. 这个版本摘取自V. Frederick Rickey 和Philip M. Tuchinsky 的文章“An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant(数学在地理学中的应用：正割积分的历史)”，发表于<<Mathematics Magazine>>(数学杂志)，第53册第3号(1980年5月)。一个稍微不同的版本出现在Snyder的<<Flattening the Earth>>中的第46-47页。

8. 它们的位置列在 R. V. Tooley的著作<<Maps and Map-Makers>>(地图与地图师)(New York:Bonanza Books, 1962),第31页；在德国Breslau列出的副本在第二次世界大战中被摧毁。

9. Rickey和Tuchinsky的“Application of Geography(地理学的应用)”(另一个稍微不同的版本，参见Snyder的<<Flattening the Earth>>的第48页)。为了阅读方便，我对原文进行了轻微的编辑，省略了重复的短语但不影响上下文。Wright的书的完整标题为：Certaine errors in navigation, arising either of the ordinarie erroneous making or vsing of the sea chart, compasse, crosse staffe, and tables of declination of the sunne, and fixed starres detected and corrected(在那个年代，为了吸引读者的注意力，长标题是很有必要的)。Wright是剑桥大学Caius学院的研究员，并成为James一世国王之子威尔士亲王Henry的导师。他最著名的作品是将Napier的对数著作翻译成英文。

10. 参见Snyder的<<Flattening the Earth>>的第48页。Florian Cajori在他的<<A History of Mathematics>>(数学史)(1893年初版; New York: Macmillan, 1919年第二版)中称，Wright使用一个弧度“second(秒)”的间隔(interval)；然而，这似乎不太可能，因为这意味着覆盖从0°到75°需要进行3600 x 75 = 270,000次加法。

11. 关于对数的故事，参见我的另一本书<<e: The Story of a Number>>(e:一个数的故事)( Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1994)第一章和第二章。

12. 方程(6)的第二个式子的一个等价形式是 y = R ln(secΦ + tanΦ)。

内容来源：

<<Trigonometric Delights>> 作者：Eli Maor

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