动态规划题解 D003 放苹果

题目解读

原题链接：牛客网 北京大学历年考研复试机试专题

题目描述

把 M 个同样的苹果放在 N 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
注意：5、1、1 和 1、5、1 是同一种分法，即顺序无关；

输入描述

输入包含多组数据，每组数据包含两个正整数 m和n（1≤m, n≤20）

输出描述:

对应每组数据，输出一个整数k，表示有k种不同的分法。

示例1

输入
7 3

输出
8

题意理解

将M个苹果放到N个同样的盘子中，允许有空盘子不放。脱离实际问题进行分析，这实际上就对应于一个整数划分的问题。用数学语言进行描述，即有：给定一个整数M，将它分解为集合 { a1 , a2 , a3……ak }，要求集合中的元素满足a1+a2+a3+……+ak=M,且元素总个数<=N，求有多少种不同的集合？

算法分析

依照通常动态规划问题的思路，考虑这样一个数组dp[m][n] , 表示在有m个苹果，n个盘子时总的分法数量。
先考虑这样一种情况：m < n时，苹果的数量小于盘子的数量。在这种情况下，即使按照最大程度使用盘子，即每个盘子中只放一个苹果，仍然只能使用m个盘子，则剩下n-m个盘子必然是空的，这些盘子对于实际的划分方案没有影响。因为集合中元素不考虑排序的问题，所以也不需要考虑哪m-m个盘子为空，这个时候dp[m][n] 就退化为 dp[m][m] 。
第二种情况下有m>=n, 苹果的数量大于等于盘子的数量。我们接下来的划分标准变为是否含有空盘子。如果没有空盘子，我们可以先向每个盘子中分配一个苹果，这样就保证了所有的盘子均不为空 ; 如果至少有一个空盘子，则将这个空盘子给减出来；综上可知，在这第二种情况中的状态转移方程为：
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