求解网络流涉及的几个主要概念

1、 容量网络、残留网络、层次网络；

2、 增广路、前向弧、后向弧、网络流、割；

3、 弧的容量、流量；

4、 距离标号、活跃顶点、盈余、推进；

5、 可行流、预流、最大流、可改进量、最小割。

6、 拆点、路径压缩、最短路、DFS、BFS、二分搜索。

一、网络最大流

1、 一般增广路算法（Generic Augmenting Path）

2、 最短增广路算法（Shortest Augmenting Path）

3、 连续最短增广路算法——Dinic算法（Successive Shortest Augmenting Path Algorithm）

4、 一般预流推进算法（Generic Preflow-Push Algorithm）

5、 最高标号预流推进算法（Highest-Label Preflow-Push Algorithm）

6、 SAP算法

二、最小割的求解

1、 先求得最大流，然后依次枚举。

枚举思路：

1） 枚举一条边，并计算没有这条边的最大流，如最大流减少，则删去此边，记下此时的最大流，否则，不删边，枚举下一条边；这样反复枚举，计算，记录，直到最后最大流变为0.枚举结束，求得最小割的边。

2） 枚举一个点，并计算失去这个点的最大流，如最大流减少，则删去此点，并记下次时的最大流，否则，不删点，枚举下一个点；这样反复枚举，直至最大流为0.枚举结束，求得最少删去的点数。

这种思路简单，但要多次求最大流，容易超时。

2、 先求得最大流，然后DFS优先搜索历遍。

深搜思路：

在残余网络中从原点Vs出发进行DFS，历遍到的顶点做标记（条件为该边的残留容量不为0），这些点构成集合S，其余顶点构成顶点T。然后连接SàT的所有前向弧（后向弧也是饱和的，这不过它的正流量为0，所以不统计），这些弧的残留为0，也就是说这些弧是饱和的。

这种方法使用DFS完成，也可改用BFS，来求得最小割边集合，所用的时间相对较少。

三、流量有上下界的网络最大流和最小流

1、  网络：原始网络（Arc：上界、下届、流量）、伴随网络（Acc：上界、下届、流量）。

2、  Acc的构建：增加一个新的起点S，新的终点T；定点i 的入度 u 大于出度 v 时，增加一条S à i 的边，容量为u-v；相反，增加一条i à T 的边，容量为v-u；其它边的容量皆为上界 - 下界。

当S à 各点的流量都满载时，存在可行流。

       3、求原网络的可行流：Acc的流量 + Arc 的流量下界。

4、构建有可行流后的残留网络（网络中弧的容量为：流量上界 – 可行流量），然后求解该网络的最大流，最

后与可行流相加就是最大流；求最小流则只要在构建残留网络后，将源点和汇点交换，再求最大流，最后结果的相反值就是最小流。

网上有种Vt à Vs 连边的一种简易方式求最大最小流，使用二分搜索，详细参见：http://wenku.baidu.com/view/0f3b691c59eef8c75fbfb35c.html

四、最小费用最大流（最大流不唯一的情况）

1、 先使用floyd求出任意两点间的最短距离，再求出网络最大流，然后使用二分法设置两点间最长距离的限制，以此为条件重新建立容量网络，求最大流，如最大流减小，则增大距离限制，否则减少，反复操作，直到取到最小的距离（距离最好是整数）。

2、 求得从源点到汇点的一条最短路径（约束条件：该边可流通），然后求出这条路上的增广量；然后反复运行，直到没有一条从源点到达汇点的最短路，得出最大流中的最小费用。

MPLA最短路径增值算法
1、初始化流量，计算出剩余图。
2、根据剩余图计算层次图。若汇点不在层次图内，则算法结束
3、在层次图内不断用bfs增广，知道层次图内没有增广路为止
4、转步骤2

Dinic算法
1、初始化流量，计算出剩余图。
2、根据剩余图计算层次图。若汇点不在层次图内，则算法结束
3、在层次图内用一次dfs过程增广
4、转步骤2