素数的线性欧拉筛

先上代码：

#define maxx 400005
using namespace std;
int prime[100005];
bool p[maxx];
int cnt=0;
void init()
{
    for(int i=2;i<maxx;i++)
    {
        if(!p[i])
            prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>=maxx)break;
            p[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

如何理解这个代码只需要知道一点，每个合数只会被他的最小的质因子筛去。
证明：
我们设有合数写成$x=pq$,$p$为质数，且为x的最小质因子。假设当$i$在遍历到$x$之前肯定已经遍历到$q$，从而$x=p*q$必然已经被打上了标记。每个数的值只会被修改一次（即被最小的质因子筛去）,原因是判断了$q\%p==0$,因为我们每次是从已经筛出的质因子里从小到大考虑，所以遇到的第一个$p$，若满足$q\%p==0$，则一定是$q$的最小质因子。
假设没有这个条件，循环没有break,那么假设当我们遇到了第二质数$p'$满足$q\%p'==0$,则$x'=p'q$会被修改一次，但是$p'$并不是$x'$的最小质数，所以就重复修改了。

那$x'$会被筛去么？会的，因为$p|x'$,设$q'=\frac{x'}{p}$,当i遍历到$q'$时，便会把$x'=pq'$筛去,这在逻辑上是能自恰的。所以这样证明了每个合数只会被他最小的质因子筛去。

因为数组的每个数只会被修改一次，所以复杂度就是$O(n)$啦。