[坑] #定、引、公#理 杂记

几何

1. $n$ 条边，边长为 $a_i$，能组成一个简单多边形当且仅当
   $$\forall i\in[1,n],a_i\le\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i \text{也就是}\max\{a_i\}\le\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i$$

图论

1. $Ore's Theorem$
   含有 $n$ 个点的无向图，存在哈密顿回路的充分条件是 $$\forall u,v\in V\land\{u,v\}\notin E,deg_u+deg_v\ge n$$
2. 任何一张竞赛图都包含一条哈密顿路径

数学

组合数学

1. $$\sum_{i=0}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}$$
2. $$x^n=\sum_{i=1}^nS(n,i)\times F(x,i)\text{，其中}F(x,i)\text{表示排列}，S(n,i)\text{为第二类斯特林数}$$

3. $f_S=\sum_{T\subseteq S} g_T\rightarrow g_S=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\times f_T$

4. $f_n=\sum_{i=0}^ng_i\times C(n,i)\rightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}f_i\times C(n,i)$

5. 卡特兰数
   
   • $C_n={{2n\choose n}\over n+1}={2n\choose n}-{2n\choose n-1}$
   • 拓展:$n$个左括号和 $m$ 个右括号，组成$n$前缀大于等于$m$前缀的方案数是 ${n+m\choose m}-{n+m\choose m-1}$

数论

1. 欧拉定理扩展定理
   $a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~(\mod p)$