[数论 && 二次剩余 && BSGS] Codechef FN. FIBNACCI NUMBER

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Coldef/article/details/77871438

本文探讨了二次剩余的概念，并通过具体的数学表达式展示了如何利用BSGS算法解决特定的数论问题。文中提供了完整的C++代码实现，包括二次剩余的计算、Cipolla算法和BSGS算法等关键步骤。

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听vectorxj大神讲过二次剩余

这题的第一反应就是求出5的二次剩余，看看能不能解方程。
设 $x=\sqrt 5$ ， $y={1+x\over 2}$

那么 ${1\over x}(y^n-{({1\over -y})^n})\equiv C(\mod P)$

分类讨论一下n的就行，那么解一下一元二次方程就能求出 $y^n$

然后一直没想到有BSGS这种算法…
套BSGS就可以求出n了…

二次剩余可以看这个

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll Pow0(ll x,ll y,ll P){
    x%=P; ll ret=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%P) if(y&1) ret=ret*x%P;
    return ret;
}

namespace BSGS{
    map<ll,ll> M;
    ll calc(ll x,ll y,ll p,bool parity){
        M.clear(); parity=!parity;
        ll S=ceil(sqrt((double)p));
        ll cur=1;
        for(int i=0;i<S;i++){
            if(!M.count(cur)) M[cur]=i;
            cur=cur*x%p;
        }
        for(int i=0;i<S;i++){
            ll cur=y*Pow0(Pow0(x,i*S,p),p-2,p)%p;
            if(M.count(cur) && (((i*S+M[cur])&1)^parity)) return i*S+M[cur];
        }
        return -1;
    }
}

namespace Cipolla{
    ll w,P;
    struct E{
        ll x,y;
        E(ll _x,ll _y):x(_x),y(_y){}
        friend E operator *(E a,E b){
            return E((a.x*b.x%P+a.y*b.y%P*w)%P,(a.x*b.y%P+a.y*b.x%P)%P);
        }
    };
    inline E Pow(E x,int y){
        E ret=E(1,0);
        for(;y;y>>=1,x=x*x) if(y&1) ret=ret*x;
        return ret;
    }
    ll calc(ll x,ll p){
        P=p; x%=P;
        if(x==0) return 0;
        ll tmp=Pow0(x,p-1>>1,p);
        if(tmp!=1) return -1;
        while(1){
            tmp=rand()%p;
            ll cur=(tmp*tmp%P+P-x)%P;
            if(Pow0(cur,p-1>>1,p)==p-1) break;
        }
        w=(tmp*tmp%P+P-x)%P;
        E A=E(tmp,1);
        return Pow(A,p+1>>1).x;
    }
}

int t,c,p;

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&c,&p);
        ll sqr5=Cipolla::calc(5,p);
        ll cur=sqr5*c%p,inv2=p+1>>1,Y=(1+sqr5)*inv2%p;
        ll val1,val2,k,ans=p+1;
        k=Cipolla::calc(5LL*c*c%p+4,p);
        if(~k){
            val1=(cur+k)*inv2%p;
            val2=(cur+p-k)*inv2%p;
            ll X=BSGS::calc(Y,val1,p,0);
            if(~X) ans=min(ans,X);
            X=BSGS::calc(Y,val2,p,0);
            if(~X) ans=min(ans,X);
        }
        k=Cipolla::calc((5LL*c*c%p+p-4)%p,p);
        if(~k){
            val1=(cur+k)*inv2%p;
            val2=(cur+p-k)*inv2%p;
            ll X=BSGS::calc(Y,val1,p,1);
            if(~X) ans=min(ans,X);
            X=BSGS::calc(Y,val2,p,1);
            if(~X) ans=min(ans,X);
        }
        if(ans==p+1) puts("-1");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}