原根相关

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原根，定义为，对一给定模数p（p是奇质数），若有一g，满足 $g^{1-p-1}$ 两两不同，则称g为p的原根。

不会证明的结论QAQ：
奇质数p一定存在原根，而且通过打表我们可以发现最小的原根都很小。

task1：如何判断一个数x是否为p的一个原根？

费马小定理： $x^{p-1}=1(p为质数)$

假设 $x^{1-p-1}$ 不是互不相同，设有一最小的y使 $x^y=1$ ，则必有 $y < p - 1$

证明非常简单：
假设一个数 $i$ 向 $(i * x) m o d p$ 连有向边，我们从i=1，沿着边走，由于在走了p-1步后回到了1，每个点只有一条出边，所以我们可以确定1走p-1步一定是重复经过一个长度为y(y|p-1)的环(p-1)/y次，所以如果不是互不相同，那么肯定可以在y(y<p-1)步时找到一个1。

这样看上去我们需要枚举p-1的所有约数来判断，好麻烦啊。

设 $p=∏piqip=\prod p_i^{q_i}$ ，因为 $y ∣ p - 1, y < p - 1$ ，所以一定有一 $p/p_i$ 是y的倍数。

又因为 $xy∗y′=(xy)y′=1y′=1x^{y*y'}=(x^{y})^{y'}=1^{y'}=1$ ，所以只需要判断有没有 $x^{p/p_i}=1$ 就行了。

复杂度可以看作 $O(log_{2}^2p)$

task2：原根的个数=φ(p-1)

假设我们已经找到了最小的原根g，我们知道 $g_{1-p-1}$ 是互不相同的。

所以若有其他原根 $g^{'} ̸ = g$ ，不妨用 $gx=g′g^x=g'$ 的形式来表示

这样有什么好处呢？

若 $g′1−p−1g'^{1-p-1}$ 互不相同，相当于 $g^{x})^{1-p-1}=g^{x*(1-p-1)}$ 互不相同，即 $x * (1 - p - 1) (m o d (p - 1))$ 互不相同，那显然 $g c d (x, p - 1) = 1$ ，那么x的个数即为 $φ (p - 1)$ 。

所有的原根都可以用 $g_{x}(gcd(x,p-1)=1)$ 的形式表示，特殊地，当x=1时，就是g自己。

实际运用：找NTT模数和对应原根

我们首先要清楚NTT模数是什么样的：
p是NTT模数，则p是质数，可以分解为 $p=2^x*y+1$ ，且x比较大，一般x>=21

不难想到枚举x，y，然后判断 $p=2^x*y+1$ 是否为质数，然后再从小到大枚举数，判断是否为原根，找到即退即可。

示例：

#include<cstdio>
#define pp printf
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

int gcd(int x, int y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}

ll ksm(ll x, ll y, const ll mo) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

int p;

int u[20], v[20], u0;

void fen(int x) {
	u0 = 0;
	for(int i = 2; i * i <= x; i ++) if(x % i == 0) {
		u[++ u0] = i; v[u0] = 0;
		while(x % i == 0) x /= i, v[u0] ++;
	}
	if(x > 1) u[++ u0] = x, v[u0] = 1;
}

int phi(int x) {
	fen(x);
	fo(i, 1, u0) x = x / u[i] * (u[i] - 1);
	return x;
}

int p2, gp, g;

int main() {
	fo(i, 21, 30) fo(j, 1, 1024) {
		ll s = (1ll << i) * j + 1;
		if(s >= (1ll << 31) || s < 9e8) continue;
		p = s;
		p2 = phi(p);
		if(p2 != p - 1) continue;
		gp = phi(p2);
		g = -1;
		fo(i, 2, p - 1) if(gcd(i, p) == 1) {
			int bz = 1;
			fo(j, 1, u0) if(ksm(i, p2 / u[j], p) == 1) {
				bz = 0; break;
			}
			if(bz) { g = i; break;}
		}
		pp("%d %d %d\n", p, g, gp);
	}
}