自然数幂和（第二类斯特林数）

1.我们知道$n^k$可以用第二类斯特林数拆成：
$\sum_{i=1}^k \{^k_i\}*i!*(^n_i)$

2.组合数的一个性质：
$\sum_{j=1}^n (^j_i)=(^{n+1}_{i+1})$
证明：
$(_{n+1}^{i+1})=(_{n}^i)+(_{n}^{i+1})$
$=(_{n}^i)+(_{n-1}^{i})+(_{n-1}^{i+1})$
…
发现一直展开就是前面的sigma。

自然数幂和：
$\sum_{i=1}^n i^k$
$=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k \{^k_j\}*j!*(^i_j)$
$=\sum_{j=1}^k \{^k_j\}*j!*\sum_{i=1}^n (^i_j)$
$=\sum_{j=1}^k \{^k_j\}*j!*(^{n+1}_{j+1})$
$=\sum_{j=1}^k \{^k_j\}{(n+1)^{\underline{j+1}}\over j+1}$

$(n+1)^{\underline{j+1}}$中一定有一个数是$(j+1)$的倍数，因此这个方法没有用到模意义下除法。