程序员面试必备——红黑树详细图解_什么是红黑树面试-优快云博客

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红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree）。以前也叫做平衡二叉 B 树（Symmetric Binary B-tree）。

预备知识

树的知识框架结构如下图所示：

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree），英文简称 BBST。经典常见的平衡二叉搜索树是 AVL 树和红黑树。

二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree）是二叉树的一种，英文简称 BST。又称为二叉查找树、二叉排序树。

它的特点是任何一个结点的值都大于其左子树的所有结点的值，任何一个结点的值都小于其右子树的所有结点的值。

平衡

平衡（Balance）：就是当结点数量固定时，左右子树的高度越接近，这棵二叉树越平衡（高度越低）。而最理想的平衡就是完全二叉树/满二叉树，高度最小的二叉树。

一棵二叉搜索树平均时间复杂度可以认为是树的高度 O(h)。像左边这棵，结点的左右子树的高度接近，属于一棵平衡二叉搜索树，O(h) = O(logn)；而右边这棵，高度达到了最大，已经退化成了链表，O(h)=O(n)。

改进二叉搜索树

当二叉树退化成链表时，性能是很低的，所以我们需要在结点的插入、删除操作之后，想办法让二叉搜索树恢复平衡（减小树的高度）。但是如果为了追求最理想的平衡，而增加了时间复杂度也不是很有必要，因此比较合理的方案就是：用尽量少的调整次数达到适度平衡。

由此引申出 AVL 树的概念。

AVL 树

AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一，它取名自两位发明家的名字：G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。

平衡因子

平衡因子（Balance Factor）：某结点的左右子树的高度差。

每个叶子结点的平衡因子都是 0。看这棵二叉搜索树，红色数字标注了每个结点对应的平衡因子。

举例：

8 的左子树高度为 2，右子树高度为 1，因此它的平衡因子为 1；5 的左子树高度为 0，右子树高度为 3，因此它的平衡因子为 -3；4 的左子树高度为 2，右子树高度为 4，因此它的平衡因子为 -2；

再看这棵 AVL 树和它每个结点对应的平衡因子：

可以看到 AVL 树具有以下特点：

每个结点的平衡因子只可能是 -1、0、1（如果绝对值超过 1，则认为是失衡）
每个结点的左右子树高度差不超过 1
搜索、插入、删除的时间复杂度是 O(logn)

B树

B 树（Balanced Tree）是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现。这是一个简单的 3 阶 B 树：

特点

1 个结点可以存储超过 2 个元素，可以拥有超过 2 个子结点
拥有二叉搜索树的一些性质
平衡，每个结点的所有子树高度一致
比较矮

m 阶 B 树的性质（m ≥ 2）

m 阶 B 树指的是一个结点最多拥有 m 个子结点。假设一个结点存储的元素个数为 x，那么如果这个结点是：

根结点：1 ≤ x ≤ m - 1
非根结点：┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1

如果有子结点，子结点个数为 y = x + 1，那么如果这个结点是：

根结点：2 ≤ y ≤ m
非根结点：┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m

向上取整（Ceiling），指的是取比自己大的最小整数，用数学符号 ┌ ┐ 表示。
向下取整（Floor），指的是取比自己小的最大整数，用数学符号 └ ┘ 表示。

比如 m = 3，子结点个数 2 ≤ y ≤ 3，这个 B 树可以称为（2,3）树、2-3 树；

比如 m = 4，子结点个数 2 ≤ y ≤ 4，这个 B 树可以称为（2,4）树、2-3-4 树；

比如 m = 5，子结点个数 3 ≤ y ≤ 4，这个 B 树可以称为（3,5）树、3-4-5 树；

以此类推。

B 树 VS 二叉搜索树

这是一棵二叉搜索树，通过某些父子结点合并，恰好能与上面的 B 树对应。我们可以得到结论：

B 树和二叉搜索树，在逻辑上是等价的
多代结点合并，可以获得一个超级结点，且 n 代合并的超级结点，最多拥有 (2^n) 个子结点（至少是 (2^n) 阶 B 树）

红黑树定义和性质

红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉搜索树。

为了保证平衡，红黑树必须满足以下性质：

每个结点是要么是红色或黑色
根结点必须是黑色
叶结点（外部结点、空结点）是黑色
红色结点不能连续（也就是，红色结点的孩子和父亲都是黑色）
对于每个结点，从该点至 nil（树尾端，java 中为 null 的结点)的任何路径都包含所相同个数的黑色结点

红黑树与 B 树的等价变换

根据上面的性质，可以画出这样一棵红黑树。接下来对红黑树做等价变换，即将所有的红色结点上升一层与它的父结点放在同一行，这就很像一棵 4 阶 B 树，转换效果如下图所示。

可以得出结论：

红黑树与 4 阶 B 树（2-3-4树）具有等价性
黑色结点与红色子结点融合在一起，形成 1 个 B 树结点
红黑树的黑色结点个数与 4 阶 B 树的结点总个数相等

红黑树的基本操作

当我们对一棵平衡二叉搜索树进行插入、删除的时候，很可能会让这棵树变得失衡（最坏可能导致所有祖先结点失衡，但是父结点和非祖先结点都不可能失衡），为了达到平衡，需要对树进行旋转。而红黑树能够达到自平衡，靠的也就是左旋、右旋和变色。

旋转操作是局部的。当一侧子树的结点少了，向另一侧“借”一些结点；当一侧子树的结点多了，则“租”一些结点给另一侧。

为了更清楚地讲解这部分内容，先声明几个概念：

N - node：当前结点
P - parent：父结点
S - sibling：兄弟结点
U - uncle：叔父结点（P 的兄弟结点）
G - grand：祖父结点（P 的父结点）

左旋

左旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

不考虑结点颜色，可以看到左旋只影响旋转结点和其右子树的结构，把右子树的结点往左子树移动。

右旋

右旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

不考虑结点颜色，可以看到右旋只影响旋转结点和其左子树的结构，把左子树的结点往右子树移动。

变色

变色指的是结点的颜色由红变黑或由黑变红。

变换规则

将左旋、右旋和变色结合起来，得到一套变换规则：

变色：如果当前结点的父结点和叔父结点是红色，那么：

把父结点和叔父结点变为黑色
把祖父结点变为红色
把指针定义到祖父结点

左旋：当前结点是右子树，且父结点是红色