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本文介绍了拓扑排序的概念，包括有向无环图（DAG）中的一种线性排序方式，强调了入度为0的节点在排序中的重要性。同时，给出了LeetCode上拓扑排序相关的题目，如207号题目，作为模板题，解释了如何利用队列进行拓扑排序，并检查是否存在课程依赖环。此外，还提到了其他相关题目，如210号、329号和1203号，供读者进一步实践和学习图论算法。

文章目录

拓扑排序
模板题
作业题

拓扑排序

对于一个有向无环图 $G = (V, E)$ 来说，其拓扑排序指 $G$ 中所有结点的一种线性次序，这种次序满足以下条件：

如果图 $G$ 包含边 $(u, v)$ ，则结点 $u$ 在拓扑排序中处于结点 $v$ 的前面。

为了实现拓扑排序，我们引入入度的概念：
对于 $G$ 中一点 $v$ ，每存在一条边 $(u, v)$ ，则 $v$ 入度加一，即一个点的入度为有多少条边指向该点。
如果一个点入度为 $0$ 时，意味着当前没有边指向该点，则可以将该点加入拓扑次序。此时，将从该点出发的每一条边所到达的终点入度减一。
循环上述，得到拓扑排序。

模板题

LeetCode 207
要学习课程 $a_i$ ，就要先学习 $b_i$ ，所以我们连边 $b_i,a_i)$

class Solution {
private:
    static const int N = 1e5+5;
    static const int M = 5e3+5;
    struct node {
        int to, next;
    } edges[M]; int head[N];
    int n, cnt, vis, in[N];
    queue<int> q;
public:
    void insert(int x, int y) {
        ++cnt;
        edges[cnt].to = y;
        edges[cnt].next = head[x]; head[x] = cnt;
    }
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        n = numCourses;
        for (int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
            int x = prerequisites[i][1] + 1;
            int y = prerequisites[i][0] + 1;
            insert(x, y); in[y]++;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            if (!in[i])
                q.push(i);
        while(!q.empty()) {
            ++vis;
            int x = q.front(); q.pop();
            for (int i = head[x]; i; i = edges[i].next) {
                int y = edges[i].to;
                --in[y];
                if (!in[y])
                    q.push(y);
            }
        }
        return vis == n;
    }
};

作业题

LeetCode 210
LeetCode 329
LeetCode 1203