牛顿法：优化问题的下山之道

牛顿法：优化问题的下山之道

牛顿法（Newton’s Method）是一种经典的数值优化算法，常被用于求解非线性方程或最小化目标函数。它基于泰勒级数展开，通过迭代逼近函数的根或极小值点。本文将详细介绍牛顿法的原理，并给出 Python 实现的源代码。

原理概述

牛顿法的核心思想是利用函数的局部二阶信息来逼近函数的根或极小值点。具体而言，对于一个可微且具有二阶连续导数的函数 f(x)，牛顿法通过以下迭代公式来逼近最优解：

x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}

其中，x_n 是第 n 次迭代的近似解，f’(x_n) 和 f’'(x_n) 分别表示函数 f(x) 在 x_n 处的一阶导数和二阶导数。

牛顿法的优势在于其快速的收敛速度。然而，它也存在一些限制。首先，牛顿法要求目标函数具有二阶连续导数，因此不适用于某些非光滑函数。其次，如果初始点选择不当或函数存在局部极大值点，牛顿法可能会陷入局部最优解。

Python 实现

下面是使用 Python 实现牛顿法的示例代码：