Petrozavodsk Programming Camp Winter 2018 Day 6: Grand Prix of Gomel K. Kids Aren‘t Alright（容斥好题）

题目

19313번: Kids Aren't Alright

求非空集合的数量，满足gcd=1，lcm=m(m<=1e18)，答案取模998244353

思路来源

稲葉廻群、b站绿导师原谅你了容斥视频等

Grand Prix of Gomel (ITMO Day 5) - EOJ Wiki

题解1

先pollard_pho找因子，

然后f_x 表示 gcd=1, lcm=x 的组个数

我们仅计算 m 的因子的 f，那么考虑知道 x 所有真因子的时候怎么计算 f_m

首先直接要求每个元素都是 m 的因子，有 2^d(m) 种方案

然后考虑容斥掉，就是这里面会出现 gcd=x, lcm=y 的集合，且 (x,y)!=(1,m)

那么这种集合的数量恰好等于 f_(y/x)，也就是把 f_m 减去所有 d(m/i)*f(i) 应该就行了

(x,y)的数量是满足y/x=i，y|m 的个数，即 x|(m/i)，也就是d(m/i)

题解2

这个题解写的略抽象，想了很久，没太懂对称是啥意思，后来才想明白

对于每个质因子p，我们要用全集，减掉gcd是pi的倍数的集合，也要减掉lcm不是pi^ai的集合

每个质因子有两个集合，1e18最多有15个不同质因子，最多有30个集合，暴力枚举是O(2^30)的

实际是因为，只考虑gcd是pi的倍数时，方案是，

而只考虑lcm不是pi^ai时，说明是pi^ai删了至少一个质因子pi，方案数也是

这俩是一样的集合，所以可以把这俩合并成一个集合，

用选了其中0个/选了其中1个/选了其中2个去做区分，

选了两个就除以p两次，就优化到O(3^15)了

代码1（O(d(n)^2，但常数略小)

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>