【动态规划】数字三角形问题

原创已于 2022-11-15 20:46:51 修改 · 340 阅读

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#动态规划 #算法

于 2022-11-15 20:45:59 首次发布

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这篇博客介绍了如何使用动态规划解决一个问题：在给定的矩阵中找到从第一行到最后一行的路径，使得路径上的数字之和最大。算法思路包括定义状态转移方程，代码实现中涉及矩阵遍历和递推计算，最终找到最大数字和。

在这里插入图片描述

算法思路：

1.该路径可能以最后一行任意一个数为终点，故定义 dp【i】【j】表示第i行第j个数为终点的最大数字总和
2.每个点的上一个点要么来自左上，要么来自右上，而最左和最右只有一个来源故递推式如下：
dp【i】【1】=dp【i-1】【1】+a【i】【1】
dp【i】【i】=dp【i-1】【i-1】+a【i】【i】
j>1 && j<i ：dp【i】【j】=max(dp【i-1】【j-1】+a【i】【j】,dp【i-1】【j】+a【i】【j】)

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
int n,ans;
int a[N][N],dp[N][N];
int main(){
	freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	}
	dp[1][1]=a[1][1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		dp[i][1]=dp[i-1][1]+a[i][1];
		dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i];
		for(int j=2;j<i;j++) {
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+a[i][j],dp[i-1][j]+a[i][j]); 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[n][i]);
	printf("%d",ans);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}