[ZOJ3329]One Person Game（概率dp）

最新推荐文章于 2021-04-10 21:56:02 发布

Clove_unique

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分类专栏：题解 dp 概率期望

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定类型的数学期望问题的方法。通过构建概率转移方程，利用DP预处理技巧，解决了给定得分时游戏结束的期望值计算难题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题解

令f(i)表示得分为i时到结束的期望
显然这道题>0的点都可以从0转移过来，0也可以从每一个>0的点转移过来
所以这题就应该~~画柿子~~了
$f(i)=\sum f(i+k)p(k)+f(0)P+1$ ，其中p(i)表示掷出和为i的骰子的概率，P表示掷出a,b,c的概率
每一项都包含f(0)，令f(i)=pa(i)f(0)+pb(i)，那么f(i+k)=pa(i+k)f(0)+pb(i+k)
将其代入 $f(i)=\sum(pa(i+k)f(0)+pb(i+k))p(k)+f(0)P+1$
$f(i)=(\sum pa(i+k)p(k)+P)f(0)+\sum pb(i+k)p(k)+1$
得到 $pa(i)=\sum pa(i+k)p(k)+P$ ， $pb(i)=\sum pb(i+k)p(k)+1$
然后就可以dp出pa和pb了
最终 $f(0)={pb(0)\over 1-pa(0)}$

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int T,n,k1,k2,k3,a,b,c;
double P,ans,p[50],pa[1005],pb[1005];

void clear()
{
    n=k1=k2=k3=a=b=c=0;
    P=ans=0;
    memset(p,0,sizeof(p));memset(pa,0,sizeof(pa));memset(pb,0,sizeof(pb));
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        clear();
        scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&k1,&k2,&k3,&a,&b,&c);
        P=1.0/((double)k1*(double)k2*(double)k3);
        for (int i=1;i<=k1;++i)
            for (int j=1;j<=k2;++j)
                for (int k=1;k<=k3;++k)
                    if (i!=a||j!=b||k!=c) p[i+j+k]+=P;
        for (int i=n;i>=0;--i)
        {
            for (int j=3;j<=k1+k2+k3&&(i+j)<=n;++j)
                pa[i]+=pa[i+j]*p[j],pb[i]+=pb[i+j]*p[j];
            pa[i]+=P,pb[i]+=1.0;
        }
        ans=pb[0]/(1-pa[0]);
        printf("%.15lf\n",ans);
    }
}