[BZOJ1815][Shoi2006]color 有色图（dfs+置换群+数论+组合数学）

题目描述

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题解

这道题的重点是将点的置换和边的置换对应好
假设我们已经知道了一个点的置换，并且知道了这个置换的若干个循环节以及长度，那么对于两个循环节之间的所有边（两个顶点分别在这两个循环节里），边循环节个数应该是$gcd(x,y)$，其中xy为这两个点循环节的长度；对于一个长度为x的点循环节，这里面的所有边（两个顶点都在这个循环节里），边循环节个数应该是$x\over 2$。
如何求出所有的点的置换？直接求肯定不行，因为所有的置换共有$n!$个。如果我们将n划分成n个部分，每个部分里至少有1，那么就相当于是有这么多个循环节，循环节长度即为划分的部分的大小。然后这样的话边循环节个数应该就可以按照上面的方法算了。
但是对于一个划分，如何求出对应的点置换的数量呢？首先将n个数放入这若干个部分中，组间的顺序有关但是组内的顺序无关，也就是每次选出组内大小这么多个数。但是还需要注意的一点是，如果两个组的大小相同，应该取消它们顺序的影响。
这样就相当于求出了循环节数为i的置换的个数，然后根据polya定理：$ans={1\over |G|}\sum\limits_{f\in G}k^{m(f)}$就能求出答案了。
对于n的每一种划分dfs就可以，然后需要预处理gcd、n!、inv

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 65

int n,now;
int a[N],b[N],t[N][N];
LL m,Mod,ans,mul[N],inv[N],mi[1800],c[N][N];

int gcd(int a,int b)
{
    if (!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
LL fast_pow(LL a,LL p)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1LL,a=a*a%Mod)
        if (p&1LL)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void calc()
{
    mul[0]=1LL;
    for (int i=1;i<=n;++i) mul[i]=mul[i-1]*(LL)i%Mod;
    mi[0]=1LL;for (int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i) mi[i]=mi[i-1]*m%Mod;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=i;j<=n;++j) t[i][j]=gcd(i,j);
    for (int i=1;i<=n;++i) inv[i]=fast_pow(mul[i],Mod-2);
    for (int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=1LL;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%Mod;
}
void dfs(int dep)
{
    if (!dep)
    {
        int sum=0;
        for (int i=1;i<=now;++i)
            for (int j=i+1;j<=now;++j)
                sum+=t[a[i]][a[j]];
        for (int i=1;i<=now;++i) sum+=a[i]/2;

        int cnt=n;
        LL tot=1LL;
        for (int i=1;i<now;++i)
        {
            tot=tot*c[cnt][a[i]]%Mod;
            cnt-=a[i];
        }
        for (int i=1;i<=n;++i)
            if (b[i])
                tot=tot*inv[b[i]]%Mod;
        for (int i=1;i<=now;++i)
            tot=tot*mul[a[i]-1]%Mod;

        ans=(ans+tot*mi[sum]%Mod)%Mod;
        return;
    }
    for (int i=a[now];i<=dep;++i)
    {
        a[++now]=i;
        ++b[a[now]];
        dfs(dep-i);
        --b[a[now]];
        --now;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%lld%lld",&n,&m,&Mod);
    calc();
    now=0;a[0]=1;dfs(n);
    ans=ans*fast_pow(mul[n],Mod-2)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}