[HDU3037]Saving Beans（组合数学Lucas定理）

最新推荐文章于 2019-07-14 11:23:40 发布

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组合数学

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本文介绍了一种使用组合数学中的插板法解决特定问题的方法。具体地，文章探讨了从不同树上取豆子的不同组合方式，并通过数学推导给出了求解公式。此外，还介绍了如何利用Lucas定理来快速计算模意义下的组合数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门
从n棵不同的树上取不超过M颗豆子（豆子无差异），有多少种取法。

题解

考虑如何求解 $x_1+x_2+...+x_n=m$ 的解的个数
可以用插板法求解。由于原题 $x_i$ 可以为0，但是插板法不能为0，那么可以等式两边同时+n
$x_1+1+x_2+1+...+x_n+1=n+m$
这样就相当于有n+m个物品，将其分成n组的方案数，即 $C_{n+m-1}^{n-1}=C_{n+m-1}^m$
那么这道题就是要求 $\sum\limits_{i=0}^m C_{n+i-1}^i=C_{n-1}^0+C_n^1+C_{n+1}^2+...+C_{n+m-1}^m$
先把第一项写成 $C_n^0$ 然后利用 $C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1}$ 可以将前两项合并然后继续和后面合并
最后答案就是 $C_{n+m}^m$
利用Lucas定理可以快速求解 $C_n^m\%p$ ，阶乘预处理一下就行了

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

int T;
LL n,m,Mod,mul[100005];

void calc()
{
    mul[0]=1LL;
    for (LL i=1;i<=Mod;++i) mul[i]=mul[i-1]*i%Mod;
}
LL fast_pow(LL a,LL p)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
LL inv(LL x)
{
    return fast_pow(x,Mod-2)%Mod;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if (m>n) return 0LL;
    return mul[n]*inv(mul[m]*mul[n-m]%Mod)%Mod;
}
LL lucas()
{
    LL ans=1LL;
    while (m)
    {
        ans=ans*C(n%Mod,m%Mod)%Mod;
        n/=Mod,m/=Mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&Mod);
        calc();
        n+=m;
        printf("%I64d\n",lucas());
    }
}