[BZOJ2393]Cirno的完美算数教室（容斥原理）

最新推荐文章于 2019-03-02 10:29:42 发布

Clove_unique

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分类专栏：题解容斥原理

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容斥原理

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本文针对特定数值范围内的Baka数问题，详细介绍了筛选有效Baka数的方法，并通过深度优先搜索算法计算这些数的组合数量。文章分析了该算法的时间复杂度，并给出了实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题解

此题的数据范围应为 $10^9$ .
首先找出[1,r]中所有的baka数，可以计算出只有 $2^1+2^2+..+2^9=1023$ 个。
其次可以发现当存在两个baka数 $ab$ 满足 $a|b$ 的话，那么b是没有价值的，根本不用判断。
所以就把baka数中有因数也是baka数的剔除掉，可以发现只剩下了499个数。
然后可以进行dfs，x,y,lcm分别表示选到第x个数，之前已经选了y个数，所有选的数的lcm。答案=是一个数公倍数的数量-是两个数公倍数的数量+是三个数公倍数的数量…
根据y的奇偶统计答案就行了。
不过这道题非常让我迷惑的一点是时间复杂度。因为这样dfs的话 $10^{10}$ 是跑不出来的。把那449个数打表后可以发现，最小的6个数乘起来已经超过了 $10^9$ ，也就是说，在最坏情况下，dfs的时间复杂度应该为 $O(C_{499}^6)\approx 2*10^{13}$ 。但是实际上，只有12个数在 $10^3$ 级别之内，只有26个数在 $10^4$ 级别之内，也就是说，大部分情况下，选的数的个数不会大于2.我们先忽略不计前38个数，后面的所有的数的搜索复杂度大约应为 $O(C_{461}^2)\approx10^5$ ；不考虑后面的数，前38个数在最坏情况下复杂度约为 $O(C_{38}^6)\approx3*10^6$ ；而考虑将前38个数和后面的组合一下的话，很显然后面的数只有可能选一个，前面的数最多选4个，那么 $O(C_{38}^4*C_{461}^1)\approx 3.5*10^7$ .那么这样的话，估算的时间复杂度不会超过 $10^8$ .而如果是 $10^{10}$ 的范围的话，合法的数的个数达到了969个，用同样的方法计算明显时间是承受不住的。
那么我们就用这样一种不靠谱的方法证明了这道题的时间复杂度！

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 10000

LL l,r,a[N],b[N],ans;
bool vis[N];

void get(LL x)
{
    if (x>r) return;
    if (x) a[++a[0]]=x;
    get(x*10+2);
    get(x*10+9);
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return (!b)?a:gcd(b,a%b);
}
void dfs(int x,int y,LL lcm)
{
    if (x>b[0])
    {
        if (y&1) ans+=r/lcm-(l-1)/lcm;
        else if (y) ans-=r/lcm-(l-1)/lcm;
        return;
    }
    dfs(x+1,y,lcm);
    lcm=(lcm*b[x])/gcd(lcm,b[x]);
    if (lcm<=r) dfs(x+1,y+1,lcm);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    get(0);sort(a+1,a+a[0]+1);
    for (int i=1;i<=a[0];++i)
        if (!vis[i])
        {
            b[++b[0]]=a[i];
            for (int j=i+1;j<=a[0];++j)
                if (a[j]%a[i]==0) vis[j]=1;
        }
    dfs(1,0,1);
    printf("%lld\n",ans);
}