带权中位数 学习笔记

【线性模型】

（一）不带权中位数 

在一条直线上给出若干点，要求求出直线上的一点使其他所有点到这个点的距离之和最小。

我们会发现按照这些点的坐标排序了之后，答案即为最中间的那个点（若中间有两个点则两个点均可）。怎样来证明呢？

首先证明所求点一定可以表示为给出点中的一个：

设所求的点的坐标为x，设所有L左边的人走到L的距离总和为A，所有R右边的人走到R的距离总和为B，那么易知：

若A>B，要使x-L尽可能的小，那么x应与L重合；

若A<B，要是R-x尽可能的下，那么x应与R重合；

若A=B，x在区间[A,B]内任何点对答案均无影响。

得出：x一定可以用一个已知点表示。

由此也可得出，如果点数为偶数，选取最中间的两个点都为最小值。

接着证明x点为按横坐标排序后的中点：

容易知道：x一定在任意两点之间。

只看L，R，x这三个点，如果x在LR之间，那么LR到x的距离之和即为LR两点的距离；如果x在LR之外，那么距离值和一定大于LR的距离，也就是说不可能再优。同理可知，x必须在任意两点之间，又由上面已证的结论知道，x即为最中间的一点或两点。

（二）带权中位数

接着上面的题目，如果每个人都有一个权值，它们移动到一点的花费为距离与权值的乘积，那么这个时候怎么选点使总花费最小呢？

其实权值就可以看成是这个点上总的人数，仍然要找所有人的中点。那么这个问题就转化为了按坐标排序后，从一段扫描，把扫描过的点的权值相加记为sum。一旦遇到了一个点加上之后sum大于了总权值的一半，那么这个点就是所求的点。

也给出另外一种证明：

我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点，而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式，如果左边的总人数比右边的多，那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优，反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了，那么再往右边移动，左边的人数会进一步增多，而右边的人会减少，那么只会导致更差的结果，所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边，或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L，R]缩小到了[L，M]，通过不断地缩小范围（而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围），最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。

下面是百度上的数学证明方法：