剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

题目

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

思路

斐波那契数列的定义是 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)，生成第 n 项的做法有以下几种：

• 递归法：
  原理： 把 f(n)问题的计算拆分成 f(n-1)和 f(n-2)两个子问题的计算，并递归，以 f(0) 和 f(1)为终止条件。
  缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n)和 f(n−1) 两者向下递归需要 各自计算 f(n−2) 的值。
• 记忆化递归法：
  原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 n 的数组，用于在递归时存储 f(0) 至 f(n) 的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
  缺点： 记忆化存储需要使用 O(N) 的额外空间。
• 动态规划：
  原理： 以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)为转移方程。
  从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。

代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
            dp[i] %= 1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
}