剑指 Offer 10- II 青蛙跳台阶问题_剑指 offer 10- ii. 青蛙跳台阶问题-优快云博客

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文章介绍了如何使用动态规划和快速幂算法解决一种数学问题，即青蛙跳上n级台阶的不同跳法。给定的递推关系是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，并用模运算处理大整数。对于n级台阶，解决方案包括了基于斐波那契数列的动态规划实现和利用矩阵快速幂优化计算效率的方法。

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一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

示例 2：

输入：n = 7

输出：21

示例 3：

输入：n = 0

输出：1

提示：

0 <= n <= 100

假设跳n阶有f(n)种跳法。因为青蛙的最后一步只有两种情况，就是跳2阶或跳1阶，跳2阶的话跳法就是f(n-2)种，跳1阶的话就是f(n-1)种，因此总共是f(n)=f(n-1)+f(n-2)种情况。

依然是这个递推关系，可用动态规划法解决。与斐波那契数列算法相同，只是初值不同。

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if(n<2)return 1;
        int a=1,b=1,sum=2;
        for(int i=2;i<n;i++){
            a=b;
            b=sum;
            sum=(a+b)%1000000007;
        }
        return sum;
    }
}

复习一下快速幂算法。但是递推矩阵变了。

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if(n<2)return 1;
        int [][]m={{1,1},{1,0}};
        int [][]res=pow(m,n);
        return res[0][0];
    }
     public int[][] pow(int[][] m,int n){
        int[][] res={{1,0},{0,1}};
        while(n>0){
            if((n%2)==1){
                res=multiply(res,m);
            }
            n=n>>1;
            m=multiply(m,m);
        }
        return res;
    }
    public int[][] multiply(int[][] a,int[][] b){
        int [][]res=new int[2][2];
        for(int i=0;i<2;i++){
            for(int j=0;j<2;j++){
                res[i][j]=(int)(((long)a[i][0]*b[0][j]+(long)a[i][1]*b[1][j])%1000000007);
            }
        }
        return res;
    }
}