表达式求值：中缀、后缀与前缀表达式的转换与计算-优快云博客

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栈的应用—表达式求值

表达式通常由三部分组成：①操作数②运算符③界限符(括号等)

常见表达式有以下几种：

中缀表达式： $a + b$ 、 $\ b a\backslash b$ 、 $a + b - c$ 、 $a + b - c * d$

特点：运算符在两个数中间
后缀表达式(逆波兰表达式)： $ab +$ 、 $\ ab\backslash$ 、 $ab + c -$ 、 $ab + c d * -$

特点：运算符在两个操作数后面
前缀表达式(波兰表达式)： $+ ab$ 、 $\ a b \backslash ab$ 、 $- + ab c$ 、 $- + ab * c d$

特点：运算符在操作数前面

1. 中缀表达式转后缀方法

遵循左优先原则。

①确定运算顺序

②选择下一个运算符，按照 $[左操作数$ $右操作数$ $运算符]$ 的方式组合成一个新的操作数

③如果还有运算符没被处理，继续②

如 $中缀表达式((15÷(7-(1+1)))\times3)-(2+(1+1))$ 转换为后缀步骤：

$1$ $1$ $+$
$7$ $1$ $1$ $+$ $-$
$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$
$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$ $3$ $\times$
$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$ $3$ $\times$ $1$ $1$ $+$
$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$
$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$ $-$

2 后缀表达式计算

通过上面我们将中缀表达式转为后缀表达式 $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $\div$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$ $-$

计算后缀表达式也不难：从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算
合体为一个操作数。注意：两个操作数的左右顺序。

步骤：

第一个运算符是 $+$ ，先算 $1 + 1$
第二个运算符是 $-$ ， $7 - 2$
第三个运算符是 $\div$ ， $15 \div 5$
第四个运算符是 $\times$ ， $3\times3=9$
第五个运算符是 $+$ ， $1 + 1$
第六个运算符是 $+$ ， $2 + 2 = 4$
最后一个运算符是 $-$ ， $9 - 4$ 得最后结果

后缀表达式计算图示：

3 代码实现

代码实现需要遵循以下几点：

①遇到操作数直接入栈

②遇到界限符’ $($ ‘，直接入栈，遇到’ $)$ ‘，依次弹出栈内的运算符，直到栈顶元素为’ $($ '。

③运算符运算弹出规则，应该是：操作符栈顶运算符大于或等于当前输入运算符则弹出栈顶操作符。数字栈依次弹出两个数字 $n u m 1, n u m 2$ ，运算是 $n u m 2 + - ... n u m 1$

$\Large 例:计算中缀表达式((15÷(7-(1+1)))\times3)-(2+(1+1))$

Ⅰ.先分析运算符生效顺序，如下图:

Ⅱ. 从左到右依次扫描入栈:操作符栈(charStack),操作数栈(numStack)

Ⅲ. 定义操作符优先级： $+ / -$ 为 $A$ ， $\times/÷$ 为 $B$ ， $($ 为 $C$ .

Ⅳ. 进行扫描运算：

①输入’ $($ '，由于操作符栈为 $N ULL$ ，直接入栈。

②输入’ $($ ‘，操作符栈不为 $N ULL$ ，且优先级等于操作栈顶的元素’('，但由于括号不参与运算，所以直接入栈。

③输入 $15$ ，数字直接入栈。

④输入’ $\div$ ’，由于’÷’优先级低于操作符栈顶元素’('，直接入栈。

⑤输入’ $($ '，括号直接入栈。

⑥输入 $7$ ，数字直接入栈。

⑦输入’ $-$ ‘，’ $-$ ‘y优先级低于操作符栈顶元素’ $($ '，入栈。

⑧输入’ $($ '，直接入栈

⑨输入 $1$ ，入栈

⑩输入’ $+$ ‘，’ $+$ ‘优先级低于操作符栈顶元素’ $($ '，入栈

⑪输入 $1$ ，入栈。此时栈中元素情况如下：

操作符栈和操作数栈：

⑫输入’ $)$ ‘，栈顶操作符一次出栈直到为NULL或者为’ $($ ‘。此时弹出操作符栈顶元素’ $+$ ‘，弹出操作数栈前两个元素 $1, 1$ 。之后运算 $1 + 1$ 得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

⑬输入’)‘，再次重复上面，弹出操作符栈顶元素’ $-$ ‘，弹出操作数栈两个元素 $2, 7$ ，运算 $7 - 2$ 。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

⑭输入’ $)$ ‘，重复上面过程，弹出操作符栈顶元素’ $\div$ ’，弹出操作数栈两个元素 $5, 15$ ，运算 $15 \div 5$ 。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

⑮输入’ $\times$ ’，此时操作符栈顶元素为’ $($ '，优先级低于栈顶元素，直接入栈。

⑯输入’ $3$ ’，直接入栈

⑰输入’ $)$ ‘，弹出操作符栈顶元素’ $\times$ ’，弹出操作数栈两个元素 $3, 3$ ，运算 $3\times3$ 。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

⑱输入’ $-$ '，此时操作栈为NULL，直接入栈

⑲输入’ $($ '，入栈

⑳输入 $2$ ，入栈

㉑输入’ $+$ ‘，优先级小于操作栈顶元素’ $($ '，入栈

㉒输入’ $($ '，直接入栈

㉓输入 $1$ ，入栈

㉔输入’ $+$ ‘，优先级低于操作栈栈顶元素’ $($ '，入栈

㉕输入 $1$ ，入栈

㉖输入’ $)$ ‘，弹出操作符栈顶元素’ $+$ ‘，弹出操作数栈两个元素 $1, 1$ ，运算 $1 + 1$ 。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

㉗输入’ $)$ ‘，弹出操作符栈顶元素’ $+$ ‘，弹出操作数栈两个元素 $2, 2$ ，运算 $2 + 2$ 。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为’ $($ '，这次运算结束。

㉘弹出操作栈顶元素’ $-$ '，弹出操作数栈两个元素进行最后运算，得到结果为 $5$

详细代码

#include <bits/stdc++.h>
#include<string>
#define MaxSize 20
using namespace std;

char arrGrad(char s){
	switch(s){
		case '+':
			return 'A';
		case '-':
			return 'A';
		case '*':
			return 'B';
		case '/':
			return 'B';
		default :
			return 'C'; 
	}
}

//存放运算符 
typedef struct linkC{
    char data;
	char grad;				
    struct linkC *next;		
} *linkChar;

//存放运算数 
typedef struct linkN{
    int data;				
    struct linkN *next;		
} *linkNum;	 

bool initCharNum(linkChar &c,linkNum &n,char (&s)[MaxSize]){
	memset(s,'\0',sizeof(s));
	c=(linkChar)malloc(sizeof(linkChar));
	n=(linkNum)malloc(sizeof(linkNum));
	if(c==NULL||n==NULL) return false;
	c->next=NULL;
	n->next=NULL;
	return true;
}

//操作符入栈 
bool pushChar(linkChar &c,char s){
	linkChar p;
	p=(linkChar)malloc(sizeof(linkChar));
	if(p==NULL) return false;
	if(s=='+'|s=='-'){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else if(s=='*'|s=='/'){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else if(s=='('){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else{
		return false;
	}	
}

//操作数入栈 
bool pushNum(linkNum &n,int e){
	linkNum p;
	p=(linkNum)malloc(sizeof(linkNum));
	if(p==NULL) return false;
	p->data=e;
	p->next=n->next;
	n->next=p;
	
	return true;
}

//操作符出栈
char popChar(linkChar &c){
	char s;
	linkChar p;
	if(c->next==NULL) return 'E';
	s=c->next->data;
	p=c->next;
	c->next=p->next;
	free(p);
	return s;
}

//操作数出栈
int popNum(linkNum &n){
	int i;
	linkNum p;
	if(n->next==NULL) return 0;
	i=n->next->data;
	p=n->next;
	n->next=p->next;
	free(p);
	return i;
}

//获取操作符栈顶元素
char selectChar(linkChar &c,int e){
	if(e) return c->next->data;
	return c->next->grad;
}

//运算
void ope(linkChar &c,linkNum &n){
	char popchar=popChar(c);
	int num1=popNum(n);
	int num2=popNum(n);
	cout<<num2<<popchar<<num1<<endl;
	switch(popchar){
		case '+':
			pushNum(n,num2+num1);
			break;
		case '-':
			pushNum(n,num2-num1);
			break;
		case '*':
			pushNum(n,num2*num1);
			break;
		case '/':
			pushNum(n,num2/num1);
			break;
	}
} 

void printStack(linkChar &c,linkNum &n){
	while(c->next!=NULL){
		cout<<"data:"<<c->next->data<<"grad::"<<c->next->grad<<endl;
		c=c->next;
	}
	while(n->next!=NULL){
		cout<<"result:"<<n->next->data<<endl;
		n=n->next;
	}
}

//字符转数字 
int opeNum(char (&s)[MaxSize]){
	int couts,sum=0;
	for(int i=0;i<strlen(s);i++){
		couts=s[i]-'0';
		for(int j=i;j<strlen(s)-1;j++){
			couts=couts*10;
		}
		sum+=couts;
	}
	memset(s,'\0',sizeof(s));
	return sum;
}
int con=0;

//区分操作数和操作符
bool isCharNum(linkChar &c,linkNum &n,char s,char (&chrs)[MaxSize]){
	int i;
	if(s>='0'&&s<='9'){													//数字直接存入操作数栈 
		chrs[con++]=s;
		return true;
	}else if(s=='+'||s=='-'||s=='*'||s=='/'||s=='('||s=='!'){			//判断是否是操作符 
		if(strlen(chrs)>0) {
			i=opeNum(chrs);
			pushNum(n,i);
			con=0;
		}
		if(c->next==NULL){												//操作符栈为空，直接入栈 
			pushChar(c,s);
			return true;
		}
		if(selectChar(c,0)>=arrGrad(s)&&selectChar(c,1)!='('){			//不为空且栈顶操作符优先级大于等于当前所输入操作符元素,并且不是"("
			while(c->next!=NULL&&c->next->grad>=arrGrad(s)&&c->next->data!='('){			//取出操作符进行运算操作 
				ope(c,n);
			} 
		} 
		pushChar(c,s);													//将当前输入操作符压入栈顶 
		return true;
	}else if(s==')'){	
		if(strlen(chrs)>0||s=='!') {
			i=opeNum(chrs);
			pushNum(n,i);
			con=0;
		}															//如果当前输入是")",弹出所有操作符进行运算,直到碰到"(" 
		while(selectChar(c,1)!='('){
			ope(c,n);
		}
		popChar(c);														//弹出栈顶的"(" 
		return true;
	}else{
		return false;
	}
} 

int main(){
	char chr,chrs[MaxSize];
	linkChar c;
	linkNum n;
	initCharNum(c,n,chrs);
	while(chr!='!'){
		cin>>chr;
		isCharNum(c,n,chr,chrs);
	}
	ope(c,n);
	printStack(c,n);
}

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