二分图资料

二分图基本概念和最大匹配

  http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

  http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html

  http://wenku.baidu.com/link?url=qdx1qr-kdWgs3RPomqsJ9d8ZMF-ouhUjckzKVCsl2U90sir-fTM_ayHmBG3n-s4DnPHGQj5o7Sskl8hhFqrqR6apvgWsywhwiPB1V7nAYH7

König定理

 http://www.matrix67.com/blog/archives/116

KM算法:

 http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/04/28/2475731.html

题目:

最大匹配:1274 ,2239 ,2584(二分图多重匹配) ,2536 ,2446  
最小点覆盖(König定理,最小点覆盖数=最大匹配数):3041 ,1325 ,2226 (构图有点难度),
最小边覆盖:2724(构图比较难),3020
最大独立集(总点数-最大匹配):1466,3692
有向图最小路径覆盖:2060,1422,3216,2594(+传递闭包),1548(和3636类似,可以用Dilworth定理转化为LIS问题,也可以用匹配),
最优匹配(KM算法):3565,2195
<think>好的,我现在需要回答用户关于二分图染色算法及其实现思想的问题。首先,我需要回忆二分图的基本概念和染色法的工作原理。 用户已经提供了一些参考资料,我需要仔细阅读这些引用内容,特别是引用[1]和[3]中的信息。引用[1]提到染色法用于判断一个图是否为二分图,而引用[3]中的代码示例展示了如何用DFS进行染色,并检查是否有矛盾。 首先,二分图的定义是没有奇环的图,可以用两种颜色对顶点进行着色,使得相邻顶点颜色不同。这是染色法的核心思想。我需要解释清楚算法步骤,比如选择起始点、DFS或BFS遍历、颜色标记和冲突检测。 接下来,实现思想部分需要结合代码示例。用户提供的C++代码使用了邻接表存储图结构,然后通过递归DFS进行染色。每次递归时,如果相邻节点未染色,则用相反颜色继续;如果已染色且颜色相同,则返回冲突。这部分逻辑需要详细说明。 还要注意算法的应用场景,比如判断二分图用于解决匹配问题,如匈牙利算法的基础。同时,需要提到时间复杂度,如O(V+E),适合处理大规模数据。 用户可能希望了解实际应用案例,比如课程安排、任务分配等,这部分需要结合例子说明。此外,可能需要指出算法中的注意事项,比如处理非连通图时需要检查每个连通分量。 最后,生成的相关问题需要围绕算法优化、应用场景以及与匈牙利算法的关系展开,确保问题具有针对性和延伸性。 现在需要将这些思考整理成一个结构清晰的中文回答,遵循用户的格式要求,使用正确的LaTeX语法,并在适当位置添加引用标记。</think>### 二分图染色算法详解 #### 一、核心思想 二分图染色算法通过**颜色标记法**判断图是否为二分图,本质是检测图中是否存在**奇数长度环**。若图中所有相邻顶点都能被交替染成两种不同颜色且无冲突,则该图为二分图[^1]。 #### 二、算法步骤 1. **初始化**:选择任意未染色顶点作为起点,标记颜色$1$或$2$ 2. **遍历染色**:使用DFS或BFS遍历相邻节点 - 若相邻节点未染色 → 染相反颜色($3 - \text{当前颜色}$) - 若相邻节点已染色 → 检查是否与当前节点颜色不同 3. **冲突检测**:发现相邻节点颜色相同 → 立即判定非二分图 #### 三、实现思想(以DFS为例) ```python def is_bipartite(graph): color = {} # 记录节点颜色: 0未染色, 1/2为两种颜色 for node in graph: if node not in color: stack = [(node, 1)] while stack: current, c = stack.pop() if current in color: if color[current] != c: return False continue color[current] = c for neighbor in graph[current]: stack.append((neighbor, 3 - c)) return True ``` **关键逻辑说明**: - 使用栈实现DFS,避免递归深度限制 - `3 - c`实现颜色交替:1→2,2→1 - 时间复杂度:$O(V+E)$,空间复杂度:$O(V)$[^3] #### 四、应用场景 1. **任务分配系统**:工人与任务匹配时验证能否形成二分图结构 2. **社交网络分析**:检测用户关系是否可划分为两个无冲突群体 3. **电路设计**:判断元件引脚能否分为两组满足连接规则 4. **匈牙利算法基础**:最大匹配问题需先确认图为二分图[^2] #### 五、注意事项 1. **非连通图处理**:需检测每个连通分量 2. **自环边检测**:若存在自环(顶点连接自己),直接判定非二分图 3. **并行优化**:对大型图可采用多线程分别处理不同连通分量
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