离散数学及其应用 第二章：计数问题

基本原理

乘法原理

一些工作需要$t$步完成，第一步有$n_1$种不同的选择，第二步有$n_2$种不同的选择······第$t$步有$n_t$种不同的选择，那么完成这项工作的所有可能的选择种数为
$$n_1\ast n_2\ast \cdot \cdot \cdot \ast n_t$$

加法原理

将一个集合分成若干个不相干的子集，所有子集的方法相加就是方法总数

排列和组合

排列

排列的公式在高中已经学过
$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$
排列表示从$n$个元素中选$m$个，这$m$个元素内部还有顺序

组合

组合也是之前学过的知识
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
组合表示从$n$个元素中选$m$个，这$m$个元素内部没有顺序

环形r排列

$n$个人围坐在圆桌旁，有$(n-1)!$种围法
从$n$个人中选$r$个人围圆桌而坐，一共有
$$\frac{n!}{r\ast (n-r)!}种方法$$

容斥原理和鸽笼原理

容斥原理

设$A,B$是两个集合，则$|A\bigcup B|=|A|+|B|-|A\bigcap B|$
与之前的德摩根律相结合，可以知道$|\bar{A}\bigcap \bar{B}|=|U|-(|A|+|B|)+|A\bigcap B|$
把两个集合推广到$n$个集合
$$|A_1\bigcup A_2\bigcup A_3\cdot \cdot \cdot \bigcup A_n|=\sum _{i=1}^n|A_i|-\sum _{i\ne j}|A_i\bigcap A_j|+(-1{)}^{n+1}|A_1\bigcap A_2\bigcap A_3\cdot \cdot \cdot \bigcap A_n|$$
同样可以用德摩根律得到另外一个相似的结论，即所有集合的补集取交等于全集减去所有集合取并

鸽笼原理

若$n+1$只鸽子住进$n$个鸽笼，则一定有一个鸽笼住进了两只鸽子。这个原理在一些证明题中经常用到