离散数学及其应用 第一章：集合论

集合

集合也没什么说的，集合的三大性质：确定性、互异性、无序性，从高中、初中一路走来也十分熟悉。有几种重要的集合需要记一下。
$N$是自然数集合：0,1,2,…;
$Z$是整数集合：…-2,-1,0,1,2,…;
$Q$是有理数集合；
$R$是实数集合；
$C$是复数集合；

集合的表示

1. 枚举法：一个一个写；
2. 叙述法：刻画集合中元素的某种特性，可以理解为是下了一个定义；
3. 归纳法：稍微有点复杂，主要有以下三部分构成
   • 基础，指出某些最基本的元素属于某集合
   • 归纳，指出由基本元素构造新元素的方法
   • 极小性，指出该集合的边界
     例：
     1）0和1都是A中的元素
     2）如果a,b是A中的元素，则ab,ba也是A中的元素
     3）有限次使用（1）、（2）后所得到的字符串都是A中的元素
     这三个条件分别是基础、归纳、极小性
4. 递归指定集合法
5. 文氏图解法

集合的关系

集合相等：=
包含关系：$\subseteq$
真包含关系：$\subset$

空集

写成$\varphi$

1. 空集是一切集合的子集
2. 空集是绝对唯一的

基数

写成|A|，表示集合A中元素的个数。若集合A含有n个元素，称为n元集。

幂集

A的所有不同子集构成的集合称为A的幂集，记为$P$(A)

集合的运算

也比较熟，比较不熟的是$⨁$运算符
A ⨁ B = { x ∣ ( x ∈ A 且 x ∉ B ) 或 ( x ∈ B 且 x ∉ A ) } = ( A − B ) ⋃ ( B − A ) A \bigoplus B=\{x|(x\in A且x\notin B)或(x\in B且x\notin A)\}=(A-B)\bigcup (B-A) A⨁B={x∣(x∈A且x∈/​B)或(x∈B且x∈/​A)}=(A−B)⋃(B−A)
称为A和B的对称差集

运算定理

比较简单且容易理解，就记一记不怎么熟的吧
吸收律：$A\bigcap (A\bigcup B)=A，A\bigcup (A\bigcap B)=A$
德摩根律：$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap \overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

无限集

可数集和不可数集

等势：两个集合之间存在一一对应关系
与自然数集$N$等势的集合是可数集
与开区间（0，1）等势的集合是不可数集

定理

1. 两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数
2. 有限集合不和其任何真子集等势
3. 可数集合可以与其可数的真子集等势