霍尔定理证明

最新推荐文章于 2025-06-25 09:33:11 发布

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最新推荐文章于 2025-06-25 09:33:11 发布 · 8.3k 阅读

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这篇博客详细阐述了霍尔定理的必要性和充分性。首先从必要性出发，证明如果存在完美匹配，则满足条件|N(A)|≥|A|。然后通过基本步骤和归纳步骤，逐步证明充分性，最终得出霍尔定理。归纳步骤中详细分析了两种情况，确保了在各种情况下都能找到完美匹配。

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必要性

假设 $V_1$ 到 $V_2$ 存在一个完美匹配 $M$ ，那么对于 $A$ 中的每个顶点 $v$ ，在 $M$ 中都存在至少一条边能连接到 $V_2$ 。因此，对于任意 $V_1$ 子集 $A$ ，其在 $V_2$ 中的相邻顶点个数至少与 $V_1$ 中的顶点一样多，既 $|N(A)|\geq |A|$ 。得证。