霍尔定理证明

这篇博客详细阐述了霍尔定理的必要性和充分性。首先从必要性出发,证明如果存在完美匹配,则满足条件|N(A)|≥|A|。然后通过基本步骤和归纳步骤,逐步证明充分性,最终得出霍尔定理。归纳步骤中详细分析了两种情况,确保了在各种情况下都能找到完美匹配。

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必要性

    假设V1V1V2V2存在一个完美匹配MM,那么对于 A 中的每个顶点vv,在 M 中都存在至少一条边能连接到V2V2。因此,对于任意V1V1子集AA,其在 V 2 中的相邻顶点个数至少与V1V1中的顶点一样多,既 |N(A)||A||N(A)|≥|A| 。得证。

充分性

基本步骤

    若|V1|=1|V1|=1,则其存在完美匹配MM当且仅当 V 1 存在至少一条边连接到V2V2,故有|N(A)||A|=1|N(A)|≥|A|=1A

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