本文详细介绍了线段树和树状数组的基本概念、应用场景及实现方式，并对比了两者之间的区别，包括它们在不同查询任务中的表现，如单点更新区间查询等。
1. Problem Description
Given an integer array nums, find the sum of the elements between indices i and j (i≤j), inclusive.
The update(i, val) function modifies nums by updating the element at index i to val.
Example:
Given nums = [1, 3, 5]
sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8
Note:
The array is only modifiable by the update function.
You may assume the number of calls to update and sumRange function is distributed evenly.
线段树，单点更新，区间查询
2. 线段树解法
2.1线段树区间求和模板
首先是胡浩大神的单点更新，区间求和模板：
1.maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
2.lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
3.PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
4.rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点
补充我对模板中几个常见问题的解释：
1. rt<<1|1 的意义：rt乘2后，其末尾必为0，故rt<<1|1与rt<<1+1，rt<<1^1答案相同。
2. build函数
线段树的本质是完全二叉搜索树，后序生成二叉搜索树的过程，与二分查找类似。
得到中值，递归生成左子树，右子树，然后回溯更新每个节点（pushup）
L==R相当于到达叶子。
以这个数组为例：
[1,3,5,4,2]
我们刚开始的查询范围是1~5，从根节点1开始往下走。节点内数字表示该节点在数组中的编号，和其容纳的信息范围。比如”1 [1:5]”表示该节点容纳的是下标1到5的数字的和，由于线段树是完全二叉树，我们用数组顺序存储，这个节点在数组中被编号为1.
Ps：线段树数组的起始节点下标必须是1，不能是0，原因见5.
3. update函数
与build类似，同样通过中序遍历进行更新。
4.query函数
向下递归查找，只要我们当前到达的区间，在所要查询的区间内，它即是我们想要得到的一个子区间。
这里L：R是我们要查找的区间，l:r是当前走到的区间。
if (L <= l && r <= R)
{
return sum[rt];
}计算m=l和r的平均数，m在大L和大R之间时分别搜索其左子树和右子树，然后用ret保存并返回当前节点左右子树之和。
rt << 1和rt << 1|1分别为当前rt节点左子树右子树的下标。
比如我们仍然以[1,3,5,4,2]为例
我们要查询[1:4]的区间和，我们递归的整个过程，是从1号节点[1:5]开始。
查询过程：1[1:5] - > 2[1:3] -> 4[1:2] -> 5[3:3]
这时，4[1:2] 和 5[3:3]都在我们要查询的区间[1:4]内，我们返回他俩的结果给2[1:3] = 4[1:2] + 5[3:3] = 4 + 5 = 9
然后继续查询：3[4:5] -> 6[4:4] （7[5:5]不会被查询）
同样这里6[4:4] 在我们要查询的区间[1:4]内，我们返回结果给3[4:5] = 6[4:4] = 4
最后返回1[1:5] = 2[1:3] + 3[4:5] = 9 + 4 =13
4. 为什么一定要从1到n而不是从0到n-1？
我们在进行递归构造线段树时，要填满这棵完全二叉树，走的递归顺序是1 -> 2 -> ……
填充数组的顺序是rt的左子树（rt*2）然后是rt的右子树（rt*2+1），如果从0开始，那么0*2=0，0*2+1=1本来其左子树是1号节点，右子树是2号节点，但求得的却是0和1。那么构造的二叉树就会有问题。
模板代码如下：
#include <cstdio>
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 55555;
int sum[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt) {
if (l == r) {
scanf("%d",&sum[rt]);
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson);
build(rson);
PushUP(rt);
}
void update(int p,int add,int l,int r,int rt) {
if (l == r) {
sum[rt] += add;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
if (p <= m) update(p , add , lson);
else update(p , add , rson);
PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
int m = (l + r) >> 1;
int ret = 0;
if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
if (R > m) ret += query(L , R , rson);
return ret;
}
int main() {
int T , n;
scanf("%d",&T);
for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {
printf("Case %d:\n",cas);
scanf("%d",&n);
build(1 , n , 1);
char op[10];
while (scanf("%s",op)) {
if (op[0] == 'E') break;
int a , b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));
else if (op[0] == 'S') update(a , -b , 1 , n , 1);
else update(a , b , 1 , n , 1);
}
}
return 0;
}2.2 My AC code
PS：
1. 给的数组是从0开始的，为了方便构造线段树，这里用一个cnt计数。
2. sum要开到len的5倍，一开始就要开辟好空间。
3. 给的函数头无法递归，调用自己重写的函数
class NumArray
{
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
public:
int cnt;
int len;
vector<int>sum;
void PushUP(int rt)
{
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt,vector<int>& nums)
{
if(l>r)
return ;
if (l == r)
{
sum[rt]=nums[cnt++];
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson,nums);
build(rson,nums);
PushUP(rt);
}
void update(int p,int add,int l,int r,int rt)
{
if(l>r)
return ;
if (l == r)
{
sum[rt] = add;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
if (p <= m) update(p , add , lson);
else update(p , add , rson);
PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
if (L <= l && r <= R)
{
return sum[rt];
}
int m = (l + r) >> 1;
int ret = 0;
if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
if (R > m) ret += query(L , R , rson);
return ret;
}
//function
NumArray(vector<int> &nums)
{
len=nums.size();
for(int i=0; i<len*5; i++)
sum.push_back(0);
cnt=0;
build(1,len,1,nums);
}
void update(int i, int val)
{
update(i+1,val,1,len,1);
}
int sumRange(int i, int j)
{
return query(i+1,j+1,1,len,1);
}
};
3.树状数组解法
3.1 树状数组区间求和模板（HDU 1166 敌兵布阵）
题意大致是先输入num个数字构造树状数组，然后有三种查询。
Add 将第a个元素增加b
Sub 将第a个元素减少b
Q a到b区间和
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=50000+10;
int c[MAX];
int N;
string op;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
//查询【1，x】区间和
int query(int x)
{
int s=0;
while(x>0)
{
s+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return s;
}
//单点更新,对节点x加data
void update(int x,int data)
{
while(x<=N)
{
c[x]+=data;
x+=lowbit(x);
}
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
int tcase=1;
while(T--)
{
scanf("%d",&N);
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=N;i++)
{
int val;
scanf("%d",&val);
update(i,val);
}
printf("Case %d:\n",tcase++);
while(cin>>op&&op!="End")
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if(op=="Query") printf("%d\n",query(b)-query(a-1));
if(op=="Add") update(a,b);
if(op=="Sub") update(a,-b);
}
}
return 0;
}3.2 My AC code
Ps:
1. 因为这里需要更新值，而不是在原有的值上加，必须再开一个数组保存原有值。每次update后必须修改回来！
2. Sum开到n即可
3. 注意索引从0还是从1开始的问题。
class NumArray
{
private:
int len;
vector<int>sum;
vector<int>tmp;
public:
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
//查询【1，x】区间和
int query(int x)
{
int s=0;
while(x>0)
{
s+=sum[x];
x-=lowbit(x);
}
return s;
}
//function
//单点更新,对节点i加val
void update(int i, int val)
{
//为了依照题意把第i个变成val
int ti=i+1;
int add=val-tmp[ti];
//这里一定要改回来！
tmp[ti]=val;
while(ti<=len)
{
sum[ti]+=add;
ti+=lowbit(ti);
}
}
NumArray(vector<int> &nums)
{
len=nums.size();
for(int i=0; i<=len; i++)
{
sum.push_back(0);
tmp.push_back(0);
}
for(int i=0; i<len; i++)
{
update(i,nums[i]);
tmp[i+1]=nums[i];
}
}
int sumRange(int i, int j)
{
i++,j++;
return query(j)-query(i-1);
}
};4.线段树与树状数组的区别
1.外观上树状数组比较简洁，常数复杂度低，空间复杂度低。
2.可以用树状数组解决的问题，线段树均可解决，但可以用线段树解决的，树状数组不一定可以解决。
3.常见的三种查询方法实现方式（给a加b，查询a到b的区间）：
|
线段树 |
树状数组 | |
|
单点更新，区间查询（HDU 1166） |
update(a , b , 1 , n , 1) query(a , b , 1 , n , 1) |
update(a,b) query(b)-query(a-1) |
|
区间更新，单点查询 （HDU 1556） |
Push down懒惰标记+递归更新 |
update(b,c); update(a-1,-c); query(j) |
|
区间更新，区间查询（POJ 3468） |
Push down懒惰标记+递归更新 |
两树状数组，分别表示修改前、修改后，分别加一次减一次完成更新（4次）。加一次减一次完成查询。 |
|
时间复杂度 |
logn |
logn |
|
空间复杂度 |
4*n |
n |
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