【洛谷 U162884】海贼王

洛谷：U162884 海贼王

题目背景

众所周知，动漫《海贼王》里有许多大海贼团，他们每个人都在海上有一定的领地。今天世界政府想要评估一下当下海贼的势力值。

题目描述

为了简化计算，做如下设定，每个海贼团作为一个节点，单个海贼团有其威望值 $a_i$ ，当其作为整个海贼组织的领袖——海贼王时，对于海上的海贼势力值计算为${\sum }_{i=1}^{n}dist(i,v)\ast a_i$。

其中$v$表示当选海贼王的海贼团，$dist(i,v)$在海上$i$海贼团距离当前$v$海贼团的距离，这里的距离规定如果两个海贼团相连且有海路，则这两个海贼团之间距离为$1$。

任意两个海贼团之间只有一条通路。

所以请你帮帮当下政府计算下所需要面对的海贼最大势力值为多少。

输入格式

第一行一个数$n$($1\le n\le 2e5$)，表示当下海贼团数量。

第二行$n$个数字$a[i]$表示每个海贼团的威力值($1\le a[i]\le 5e5$)

接下来$n-1$行，每行两个正整数$u,v$($1\le u,v\le n,u\ne v$)表示两个海贼团$u$和$v$之间有一条海路。

输出格式

输出当下海贼最大势力值。

输入输出样例 #1

输入 #1

8
9 4 1 7 10 1 6 5
1 2
2 3
1 4
1 5
5 6
5 7
5 8

输出 #1

121

【分析】
1、树结构：由于任意两个海贼团之间只有一条通路，这意味着海贼团之间的连接形成了一棵树。树是一种无向无环图，具有一些特殊的性质，比如有 n−1条边。
2、距离计算：我们需要计算每个海贼团到其他所有海贼团的距离。由于是树结构，两个节点之间的距离就是它们之间的路径长度。
3、势力值计算：对于每个海贼团 v计算${\sum }_{i=1}^{n}dist(i,v)\ast a_i$，然后找出最大值。

【优化思路】
树的重心：在树结构中，重心是一个重要的概念。树的重心是指删除该节点后，剩下的子树中节点数最多的子树的节点数最小。树的重心在解决一些树的问题时非常有用。

动态规划：我们可以利用动态规划的思想，通过一次遍历树来计算每个节点的势力值。具体来说，我们可以先选择一个根节点，然后计算每个节点的子树大小和子树中所有节点的威望值之和。然后通过换根的方法，快速计算每个节点作为根时的总势力值。

换根DP：这是一种常用的树形DP技巧，通过一次DFS遍历，我们可以计算出以某个节点为根时的势力值，然后通过换根的方法，快速更新其他节点的势力值。

//【参考代码】
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 5;

vector<int> graph[MAXN];
long long size[MAXN], sum_a[MAXN], res[MAXN];
int a[MAXN];

void dfs1(int u, int parent) {
    size[u] = 1;
    sum_a[u] = a[u - 1]; // 输入从1开始，数组从0开始
    res[u] = 0;
    for (int i = 0; i < graph[u].size(); ++i) { // 三部分形式的for循环
        int v = graph[u][i];
        if (v == parent) continue;
        dfs1(v, u);
        size[u] += size[v];
        sum_a[u] += sum_a[v];
        res[u] += res[v] + sum_a[v];
    }
}

void dfs2(int u, int parent) {
    for (int i = 0; i < graph[u].size(); ++i) { // 三部分形式的for循环
        int v = graph[u][i];
        if (v == parent) continue;
        res[v] = res[u] - sum_a[v] + (sum_a[1] - sum_a[v]);
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        graph[u].push_back(v);
        graph[v].push_back(u);
    }

    dfs1(1, -1); // 第一次DFS，计算子树大小和势力值
    dfs2(1, -1); // 第二次DFS，换根计算每个节点的势力值

    long long max_res = *max_element(res + 1, res + n + 1); // 找出最大值
    cout << max_res << endl;

    return 0;
}