数值分析 第一章 绪论

基本概念

说明：以下公式中，都是使用近似值$x$去近似准确值$x^*$。可分别得到绝对误差，绝对误差限，相对误差和相对误差限。

绝对误差

$$e = x^* - x$$

绝对误差限

$$\left | e \right | \leqslant \varepsilon$$

相对误差

$$e_r = \frac {x^* - x} {x^*} (定义式)$$
$$e_r = \frac {x^* - x} {x} (实际使用)$$

相对误差限

$$\varepsilon_r = \frac { \varepsilon } {\left |x\right|}$$

四舍五入的绝对误差限

凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末数位的半个单位。

$$\varepsilon = 该近似值末数位的半个单位$$

有效数字

定义1.1 $n$位有效数字

设数$x$是数$x^*$的近似值。如果$x$的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从$x$左起第一个非零数字到该位共有$n$位，则称这个$n$个数字为$x$的有效数字，也称用$x$近似$x^*$时具有$n$位有效数字。
数$x$总可以写成如下的形式：

$$x = \pm 0.\alpha_1\alpha_2...\alpha_k \times10^m \, (\alpha_1\neq 0)$$

1. 若$x$具有$n$位有效数字 $\Leftrightarrow \left | x^* - x \right | \leqslant \frac{1}{2}\times10^{m-n}$
2. 若$x$具有$n$位有效数字 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\varepsilon_r \leqslant \frac{1}{2\alpha_1}\times10^{m-n} \\ \varepsilon\leqslant\frac{0.\alpha_1\alpha_2...\alpha_k \times 10^m}{2(\alpha_1+1)}\times10^{1-n}\end{matrix}\right.$

数值计算中的几个原则

1. 避免两个相近的数相减
2. 防止大数“吃掉”小数
3. 绝对值太小的数不宜作除数
4. 注意简化计算程序，减少计算次数
5. 选用数值稳定性好的算法