梯度与散度解析-优快云博客

参考：
https://blog.youkuaiyun.com/yes1989yes/article/details/73139236
https://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52724926
https://wenku.baidu.com/view/2754220f4531b90d6c85ec3a87c24028915f853c.html
https://www.zhihu.com/question/24074028/answer/26657334
20181128更新：在看文献的时候看到了一个公式，是在讲述二阶导和散度之间的关系，这里记下以便日后有用。△u=div(▽u)《A Nonlocal Variational Model for Pansharpening Image Fusion》
这句话纯粹是我自己的笔记，下面才是正题。

梯度和散度概念

首先回顾一下梯度和散度的概念。这里给出梯度和散度的公式：
对于u = u(x,y,z),
那么u的梯度就为：这里写图片描述，梯度操作的是函数，得到的是偏导数作为各分量构成一个向量。
而散度则为

散度操作的是向量，且结果是对向量的三个分量P，Q，R系数求偏导数的和。这里借用知乎上的回答，散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度。如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的。也就说散度表明了向量的流动方向，而这个流动的程度越大，散的越快，那么对应的散度值也就越大。
另外从各自的结果可以看出：梯度是一个向量，而散度却是一个标量（值）。
**另外从散度的定义式来看，散度类似于求一阶导。**其运算法则为：
在这里插入图片描述

图像中的梯度和散度##

在了解了梯度和散度的的概念之后，我们将其应用到图像中去。首先，我们经常用到的是求图像的梯度，也就是使用差分法分别在图像的x，y方向求得图像的梯度分量，然后利用sqrt（x.^2 + y.^2）就生成了图像的梯度图了。那按照散度的公式，如果我们将x，y方向的梯度分量当做2个向量场，即把x当做P(x,y,z)，y当做Q(x,y,z)，那么继续对x，y方向的梯度分量求梯度就可以得到散度公式中的2个加数，得到的正是下面所说的zx_x和zy_y。对于某点来说，也就是得到了该点的流动速率。

代码

那么如何求一幅图像的梯度和散度呢？这里给出代码，需要注意的是（1）系统自带的divergence函数只能用于二维图像的计算，不能用于RGB这样的多通道的计算。（2）对某幅图像连续求2次梯度得到的zx_x和zy_y的和是等于散度的。换句话说div(z) = zx_x +zy_y。

% 生成7×7整数型的矩阵
z = randi(7,7);
[zx,zy] = gradient(z);
div = divergence(zx,zy);

[zx_x,zx_y] = gradient(zx); 
[zy_x,zy_y] = gradient(zy);
% divergence(zx,zy) =zx_x + zy_y
res = zx_x + zy_y - divergence(zx,zy);

这里也附上自己写的实现求梯度的函数

function [imx,imy,imnorm] = my_gradient(im)
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 
% % 该函数用来求图像的梯度
% % 输入：
% %     im : 输入图像
% % 输出：
% %     imx :  图像x方向的梯度
% %     imy ： 图像y方向的梯度
% %     imxy : 图像梯度的幅值
% % 
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 
imx = [im(:,end,:) - im(:, 1,:),-diff(im,1,2)];
imy = [im(end,:,:) - im(1, :,:);-diff(im,1,1)];
imnorm = sqrt(imx.^2 + imy.^2);

end