【算法】02dp-01背包

最新推荐文章于 2025-08-05 14:52:04 发布

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本文讲解如何使用动态规划解决背包问题，针对特定体积限制，找出能装下且总价值最大的宝藏组合。通过递推公式和状态转移思想，实现对宝藏价值的高效计算。

题目概述

你有一个包，只能装特定体积的东西；然后这里有许多宝藏，每个宝藏有个体积，有个价值，在你包能撑下的前提下，你能装多少宝藏（它们的价值）。

思路：
从右边开始（最开始是第n个物品） i，用dp[i][j]描述
只装从i到n的物品的最大体积<=j的最优值。

对于当前要求的dp[i][j]
如果j<si
一定装不下i了，那么dp就等于[i+1,n]物品里最大体积是j的
dp[i][j]=dp[i+1][j]

如果j>=si
就是可以装下i了，装不装i？找那个最大值
装：dp=wi+dp[i+1][j-si]
不装：dp=dp[i+1][j]
求他俩最大值

注意我们需要用到dp[i+1][j]那么i就得从n-1开始
所以得提前赋值dp[n][j]

代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int maxn = 10000;

int dp[maxn][maxn];
int s[maxn];
int w[maxn];

void bag(int n, int c)
{
    //j==0
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        dp[i][0] = 0;
    //i==n
    for (int j = 0; j <= c; ++j)
    {
        if (s[n - 1] <= j)
            dp[n][j] = w[n - 1];
        else
            dp[n][j] = 0;
    }
    //
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i)
    {
        for (int j = 0; j <= c; ++j)
        {
            if (s[i - 1] > j) //不装curr
                dp[i][j] = dp[i + 1][j];
            else //装
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - s[i - 1]] + w[i - 1]);
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    int N, c;
    cin >> N >> c;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> s[i] >> w[i];
    bag(N, c);
    cout << dp[1][c];
}

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void bag(vector<vector<int>> &dp, const vector<int> &s, const vector<int> &w, const int n, const int c)
{
    //j==0
    //for (int i = 1; i <= n; ++i)
    //  dp[i][0] = 0;
    //i==n
    for (int j = 0; j <= c; ++j)
    {
        if (s[n - 1] <= j)
            dp[n][j] = w[n - 1];
        else
            dp[n][j] = 0;
    }
    //
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i)
    {
        for (int j = 0; j <= c; ++j)
        {
            //第i个物品对应的s[i-1] w[i-1]
            if (s[i - 1] > j) //不装curr
                dp[i][j] = dp[i + 1][j];
            else //装
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - s[i - 1]] + w[i - 1]);
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    int N, c;
    cin >> N >> c;
    vector<int> s(N), w(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> s[i] >> w[i];                           //
    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(c + 1)); // v[N+1][c+1]
    bag(dp, s, w, N, c);
    cout << dp[1][c];
}