初赛答案及解析 by Caristra

单项选择题：

$T_1$.$D$
考点：计算机常识
$MySQL$是一种数据库系统

$T_2$.$A$
考点：进制转换的计算方法
不难计算出 $2A.58(16)=42.34375$，$101010.101(2)=42.625$，$52.3(8)=42.375$。
故$2A.58(16)$最小。

$T_3$.$B$
考点：原码、反码、补码的转换
因为$+127$是正数，所以它的反码，补码与原码一样；
$-39$的补码的十六进制为$D9$
因为$-128$是负数，所以它的补码是反码$+1$，即为$10000001$

$T_4$.$C$
考点：计算机常识
$PLD$是一种控制器(其实根本就没见过…)
$CD-ROM$是光盘存储器
$Cache$是高速缓存
$FloppyDisk$是软盘

$T_5$.$C$
考点：有关浮点数的基础知识

$T_6$.$C$
考点：计算机常识。
其实这个地址线有$x$根，那么它的存储容量就是$2^x$ B。

$T_7$.$D$
考点：图的基础知识
树的深度优先的遍历与树的先序遍历时类似的，但是深度优先遍历的结果不是确定的，它没有左右子树的先后顺序之分。

$T_8$.$C$
考点：主定理
此题的$a=3,b=2,f(N)=N$；那么$Nlog3>f(N)$ 即 $T(N)=O(N\log 3)$。

$T_9$.$B$
考点：枚举+组合
因为N是一个三位数，不妨设$N=\overline{abc}$。
又因为N是3的倍数，即$3|(a+b+c)$；
不妨设$a+b+c=3k(k=2,\dots ,8)$；
对于$k=2$的情况，满足条件的{$a,b,c$}$=${$1,2,3$}.
对于$k=3$的情况，满足条件的{$a,b,c$}={$1,2,6$},{$1,3,5$},{$2,3,4$}.
对于$k=4$的情况，满足条件的{$a,b,c$}={$1,2,9$},{$1,3,8$},{$1,4,7$},{$1,5,6$},{$2,3,7$},{$2,4,6$},{$3,4,5$}.
对于$k=5$的情况，满足条件的{$a,b,c$}={$1,5,9$},{$1,6,8$},{$2,4,9$},{$2,5,8$},{$2,6,7$},{$3,4,8$},{$3,5,7$},{$4,5,6$}.
由对称性可知，答案为$(8+2\ast (7+3+1))\ast A_3^3=180$。

$T_{10}$.$B$
考点：枚举+二进制
枚举答案$n$，用$n$位的二进制来表示每个人每一场是哪一方的，即可求解。
$eg$：三位二进制可以唯一标识$8$个人，$000,001,010,011,100,101,110,111$
每两个二进制之间至少有一位是不同的，达成条件。如果人再多一些还要考虑每队最多人数限制。

$T_{11}$.$A$
考点：图+博弈模拟找规律
小数据模拟不难发现 符合题意的N满足N*(N-1)/2为奇数。
证明：
首先，$2k+1$个结点与$2k$个结点的情况是一样的,因为其多出了个不能对其操作的结点,最简单的例子是$1$个结点和$0$个结点,次简单点的可以自己画个$2$、$3$个结点或$4$、$5$个结点的来分析.所以只用讨论$2k$个结点的情况.$2k$个结点有 $k\ast (2k-1)$条边,当有奇数条边时,就能保证先手必胜.所以$k=1，3，5，7\dots$换成对应的$2k$以及$2k+1$，即$2,3,6,7,10,11,14,15\dots$都可以满足情况.又因为题目限制$2k\le 15$ 及 $2k+1\le 15$,那么符合要求的$N=2,3,6,7,10,11,14,15$.共$8$个.

$T_{12}$.$B$
考点：有关图的算法的基础知识
因为只有拓扑排序的前提必须是无环图

$T_{13}$.$A$
考点：链表+复杂度
把一个单链表 链接在另一个单链表之后,只需要遍历那个长度为$m$的单链表,找到尾结点,然后把长度为$n$的单链表头结点赋给它的$next$域 ,遍历单链表的时间复杂度为$\Theta (m)$。

$T_{14}$.$B$
考点：平衡树
所有非叶结点的平衡因子均为$1$，即平衡二叉树满足平衡的最少结点情况，如下图所示。对于高度为$N$、左右子树的高度分别为$N-1$和$N-2$、所有非叶结点的平衡因子均为1的平衡二叉树，总结点数的公式为：$C_N=C_{N-1}+C_{N-2}+1，C_1=1，C_2=2，C_3=2+1+1=4$，可推出$C_6=20$。

【画图法】先画出$T_1$和$T_2$；然后新建一个根结点，连接$T_2$、$T_1$构成$T_3$；新建一个根结点，连接$T_3$、$T_2$构成$T_4$；……依此类推，直到画出$T_6$，可知$T_6$的结点数为$20$。
【排除法】对于选项$A$，高度为$6$、结点数为$10$的树怎么也无法达到平衡。对于选项$C$，结点较多时，考虑较极端情形，即第$6$层只有最左叶子的完全二叉树刚好有$32$个结点，虽然满足平衡的条件，但显然再删去部分结点，依然不影响平衡，不是最少结点的情况。同理$D$错误。只可能选$B$。

$T_{15}$.$B$
考点：组合
平面内有$11$个点，如果没有多个点在一条线上，最多可以有$C_{11}^2=11\ast \frac{10}{2}=55$
而目前只连成$48$条直线，说明有多个点在一条线上。$55-48=7$条
而三个点在一条直线上，减少$C_3^2-1=2$条线
四个点在一条线上，减少$C_4^2-1=5$条
五个点在一条线上，减少$C_5^2-1=9$条
所以有一组三个点共线有一组四个点共线
如果没有$3$个或$3$个以上的点在一条直线上，则可以连上$C_{11}^3=165$
三个点共线会减少的三角数为 $C_3^3=1$
四个点共线会减少的三角数为 $C_4^3=4$
所以 最终可连接的个数为 $165-1-5=160$

不定项选择题：

$T_1$.$CD$
考点：排序复杂度

$T_2$.$ABD$
考点：有关图论的算法

$T_3$.$AE$
考点：概率
这道题目容易弄错的地方就在于，把第二次选择当作整个游戏。如果跳过前面的排除，直接跳到第二次选择：你现有的和剩下的一个盒子中只有一个装了球。当然换或者不换获胜的概率都是 $\frac{1}{2}$，但是综合前面的情况来看，第二次选择 获胜 有两种情况：

1. 不修改选择并获胜，表示第一次已经选对。概率为：$\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
2. 修改选择并 获胜，表示第一次选错。概率为：$\frac{2}{3}\ast \frac{1}{2}=\frac{2}{6}$

综上可知，第二次选择中修改选择后获胜的概率较大。
注意， 这里的 $\frac{2}{6}$ 并不是整个游戏中改选的获胜概率！第二次选择，胜负的概率各为 $\frac{1}{2}$，这里的 $\frac{2}{6}$ 只是第二次选择中通过改选达到获胜的概率。
那整个游戏中改选获胜的概率是多少呢？$3$个盒子可能不容易看清，我们把问题改成：有$10$个盒子，选择完成之后移除$8$个空盒子。那么第一次选择的盒子有球的概率是$\frac{1}{10}$，剩下 $9$个盒子有球的概率是 $\frac{9}{10}$；移除 $8$ 个空盒子相当于告诉你这 $8$ 个盒子有球的概率为 $0$，但是 $9$个盒子有球的总概率为 $\frac{9}{10}$ 是没有变的，这就表明剩下的那个盒子有球的概率是$\frac{9}{10}$，如果改选这个盒子获胜的概率就是 $\frac{9}{10}$。同理，对于 $3$ 个盒子，改选获胜的概率是 $\frac{2}{3}$。

$T_4$.$ABCD$
考点：计算机领域的名人
午治•布尔（Boolean George），1847年发表《思维规律研究》创立逻辑代数学，成功地把形式逻辑归结为一种代数，布尔认为，逻辑中的各种命题能够使用数学符号来代表，并能依据规则推导出相应于逻辑问题的适当结论。布尔的逻辑代数理论建立在两种逻辑值“真True”、“假False”和三种逻辑关系“与AND”、“或OR”、“非NOT”。这种理论为数字电子计算机的二进制、形关逻辑元件和逻辑电路的设计辅平了道路。1854年，布尔出版了名著《布尔代数》
香农（C.E.Sharnorn），信息论创始人之一，1938年在其一篇硕士论文中指出：能够用二进制系统表达布尔代数中的逻辑关系，用“1”代表“真True”，用“0”代表“假False”，并由此用二进制系统来构筑逻辑运算系统。并指出，以布尔代数为基础，任何一个机械性推理过程，对电子计算机来说，都能像处理普通计算一样容易。香农把布尔代数与计算机二进制联系在了一起。
艾兹格•迪科斯彻 (Edsger Wybe Dijkstra)，Dijkstra最短路径算法的创造者，ALGOL60编译器的共同创造者，第一个支持递归的汇编者，创造了计算机术语“载体（vector）”和“栈（stack）”
阿达•洛芙莱斯 (Ada Augusta Byron)，数学家，第一个程序员。计算机程序创始人，建立了循环和子程序概念。

$T_5$.$ABC$
考点：计算机常识
1、因为ping的话 后面跟的是地址，所以要先将域名转换为ip地址，即用到了DNS
2、获取到ip地址后，在数据链路层是根据MAC地址传输的，所以要用到ARP解析服务，获取到MAC地址
3、ping功能是测试另一台主机是否可达，程序发送一份ICMP回显请求给目标主机，并等待返回ICMP回显应答，（ICMP主要是用于ip主机、路由器之间传递控制信息，控制信息是指网络通不通，主机是否科大）
4、TCP的话，不涉及数据传输，不会用到

问题求解：

$T_1$.$50$
考点：枚举+分类讨论+组合

不妨设甲乙两人去的数分别为$a_1\le a_2\le a_3\le a_4\le a_5\le a_6$

分类讨论：
一 、当两人取的数两两不同时
可知 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$
易知 $x_1=a_1,y_3=a_6$

1. $y_1=a_2$时,$x_2=a_3$ 若不然，有$y_2=a_3,y_2<x_2$矛盾，那么此时有$\{\begin{array}{l}{y}_2=a_4\\ x_3=a_5\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{y}_2=a_5\\ x_3=a_4\end{array}$ ，共$2$种情况。
2. $y_1=a_3$时，易知 $x_2=a_2$ ，那么有 $\{\begin{array}{l}{y}_2=a_4\\ x_3=a_5\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{y}_2=a_5\\ x_3=a_4\end{array}$，共$2$种情况。
3. $y_1=a_4$时，$x_2=a_2,x_3=a_3$，有$y_2=a_5$ ，共$1$种情况。
4. $y_1=a_5$，不可能。

∴ 共$5$种情况，即$5\ast C_n^6$种。

二 、当两人取的数仅有一对相同时

1. 若$a_1=a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$，则$x_1=a_1,y_3=a_6$，易知$x_2=a_2$或$y_1=a_2$均会矛盾。同理，$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5=a_6$亦矛盾。
2. 若$a_1<a_2=a_3<a_4<a_5<a_6$，易知，$x_1=a_1,y_3=a_6$。
   (i) 当$y_1=a_2$时，易知$x_2=a_3$，那么有$\{\begin{array}{l}{y}_2=a_4\\ x_3=a_5\end{array}$或$\{\begin{array}{l}{y}_2=a_5\\ x_3=a_4\end{array}$，共$2$种情况。
   (ii) 当$y_1=a_4$时，发现仅有$x_1=a_1=,x_2=a_2,x_3=a_3$时矛盾
   ∴共$2$种情况，同理可知，$a_1<a_2<a_3<a_4=a_5<a_6$亦有2种情况。
3. 若 $a_1<a_2<a_3=a_4<a_5<a_6$，易知$x_1=a_1,y_3=a_6$。
   (i) 当$y_1=a_2$时，若$x_2=a_3$，则$y_3=a_5$，从而$x_3=a_4$矛盾。又易知$x_2̸=a_5$，故不存在。
   (ii) 当$y_1=a_4$时，易知$y_2=a_5$，则$\{\begin{array}{l}{x}_1=a_1\\ x_2=a_2\\ x_3=a_3\end{array}$,$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_4\\ y_2=a_5\\ y_3=a_6\end{array}$ 共1种情况。

∴共$5$种情况，即$5\ast C_n^5$种。

三 、当两人取的数有两对相同时

• 由上述$2$类情况可知，$a_1̸=a_2,a_5̸=a_6$，即不能连等。那么只可能是$a_1<a_2=a_3<a_4=a_5<a_6$，那么有$\{\begin{array}{l}{x}_1=a_1\\ x_2=a_2\\ x_3=a_4\end{array}$,$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_3\\ y_2=a_5\\ y_3=a_6\end{array}$。

∴共$1$种情况，即$C_n^4$种。

综上所述，$ans=5\ast C_n^6+5\ast C_n^5+C_n^4$。
此题只是弱化版…带入公式即可。

$T_2$. $\frac{16}{3}$
考点：期望+数列求极限
不难发现游戏只会进行偶数局，那么可以设一回合为两局。
不难推出一人多赢一局的概率为$(\frac{3}{4}{)}^2+(\frac{1}{4}{)}^2=\frac{5}{8}$
则一人多赢两局的概率为
$E(x)=(1\ast (\frac{3}{8})+2\ast (\frac{5}{8})\ast (\frac{3}{8})+3\ast {\frac{5}{8}}^2\ast \frac{3}{8}...)$
$=\frac{3}{4}\ast ({\sum }_{i=1}^{\infty }i\ast (\frac{5}{8}{)}^{i-1})$（具体见下）
$=\frac{16}{3}$
令$S={\sum }_{i=1}^{\infty }i\ast (\frac{5}{8}{)}^{i-1}$.
$\frac{5}{8}S={\sum }_{i=0}^{\infty }i\ast (\frac{5}{8}{)}^i={\sum }_{i=1}^{\infty }(i-1)\ast (\frac{5}{8}{)}^{i-1}$
$\frac{5}{8}S-S={\sum }_{i=1}^{\infty }-(\frac{5}{8}{)}^{i-1}=-{\sum }_{i-1}^{\infty }(\frac{5}{8}{)}^i=\frac{1}{1-\frac{5}{8}}$
则$S=\frac{64}{9}$

阅读程序：

$T_1$.$1348$
考点：模拟
将数进行加该数的所有位上的数10次。
模拟：
$1234->1244->1255->1268->1285->1301->1306->1316->1327->1340->1348$

$T_2$.$37$
考点：模拟 递归+分治(瞎搞)

$T_3$.$5,6,6,7,7,$
考点：树上各点能到达的最长距离（203上买房子2）

$T_4$.
$54$ $714$
$609$ $87841$
考点：斐波那契数列求和以及平方和
$({\sum }_{i=1}^n{f}_i)=f_n+f_{n+1}-1$
$({\sum }_{i=1}^n(f_i{)}^2)=f_n\ast f_{n+1}$

完善程序：

$T_1$.
1.$s<(1<<(n\ast m))$
2. $i\ast m+j$
3. $mp[i][j]=1$
4. $check$_$success()$
5. $a=a\ast a$%$mod$
6. $k==-1$
7. $Pow(Pow(2,n-1),m-1)$
考点：暴力二进制枚举+数学

$T_2$.
1.$prime[tot++]=i$
2.$n>1$
3. $dfs(i+1,m/prime[i])$
4.$L<R$
5. $dfs(0,mid)$
6.$L$
考点：质因数分解+二分+容斥