初学欧拉回路/路径的判定 & 欧拉图的有关问题

最新推荐文章于 2023-12-15 16:17:55 发布
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分类专栏： 算法 图论 文章标签： 欧拉图
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Caristra/article/details/81604093

欧拉回路

简介：

  • 欧拉回路：每条边恰好只走一次,并能回到出发点的路径.
  • 欧拉路径：经过每一条边一次,但是不要求回到出发点.
  • 欧拉图：图当且仅存在欧拉回路.
  • 半欧拉图：图当且仅存在欧拉路径.

常规操作：

  • 关于欧拉图的问题,一般是判回路的存在性或生成一个（半）欧拉图的代价或方案.
  • 判欧拉图,即判存在回路,这里通过判点的度数来实现.
  • 生成欧拉图的代价,类似于一笔画,这时候就要通过一些结论再判定一下即可.
  • 求欧拉图的方案,一般即为无向图变有向图,同时满足欧拉图.
  • 一般的,通过并查集来合并欧拉回路点集

欧拉回路的判定：

  1. 在无向图中，每个点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。
  2. 在有向图中，每个点的入度等于出度，则存在欧拉回路。

欧拉路径的判定：

  1. 在无向图中，当且仅当所有点的度数为偶数或者除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。
  2. 在有向图中，当且仅当该图所有点的度数为00或者 一个点的度数为1，另一个度数为−1−1，其他点的度数为00。

有关判定回路的例题：HDU 1116 Play on Words

Description:

判断 n个单词是 否可以相连成一条链，两的件个单词是 否可以相连成一条链，两的件个单词是 否可以相连成一条链，两的件前一个单 词的最后字母和词。

Solution:

  • 通过每个单词的首尾为边，记录点的入度与出度，
  • 通过并查集判点集个数，进而判定是否为欧拉图。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<=i##_end_;i++)
#define SREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<i##_end_;i++)
#define DREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i>=i##_end_;i--)
#define db double
#define LL long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define Sz(a)sizeof(a)
#define mcl(a,b)memset(a,b,Sz(a))
#define mcp(a,b)memcpy(a,b,Sz(b))
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
template<class T>inline bool chkmin(T&x,T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<class T>inline bool chkmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
inline LL Max(LL x,LL y){return x>y?x:y;}
inline LL Min(LL x,LL y){return x<y?x:y;}
typedef pair<int,int>PII;

#define N 30

int n;
char s[1002];
int In[N],Out[N],fa[N];

int find(int x){return x==fa[x]?x:find(fa[x]);}

void Clear(){
    mcl(In,0);
    mcl(Out,0);
    SREP(i,1,N)fa[i]=i;
}

int main(){
    int cas;scanf("%d",&cas);
    while(cas--){

        Clear();

        scanf("%d",&n);
        REP(i,1,n){
            scanf("%s",s);
            int len=strlen(s);
            int x=s[0]-'a'+1;
            int y=s[len-1]-'a'+1;
            Out[x]++;
            In[y]++;
            x=find(x),y=find(y);
            if(x!=y)fa[y]=x;
        }

        bool f=1;
        int innum=0,outnum=0,root=0;
        SREP(i,1,N){
            if(!In[i] && !Out[i])continue;
            if(fa[i]==i){
                root++;
                if(root>1){f=0;break;}
            }
            if(In[i]!=Out[i]){
                if(In[i]-Out[i]==1)innum++;
                else if(Out[i]-In[i]==1)outnum++;
                else {f=0;break;}
            }
        }

        if(f && ((!innum && !outnum) || (innum==1 && outnum==1)))puts("Ordering is possible.");
        else puts("The door cannot be opened.");
    }
    return 0;
}

有关（半）欧拉图的代价问题： HDU 3018 Ant Trip

Description:

给出一张无向图，求最少几笔能画完这张图。

首先，我们需要知道一些性质：

  1. 孤立点，代价为0画。
  2. （半）欧拉图，代价为11画。
  3. 非（半）欧拉图，代为为奇数度的点数/2画。

Prove:

  • 首先，（半）欧拉图中点的度数都位偶数，那么就会有出度等于入度，故为1画；
  • 其次，非（半）欧拉图中存在点的度数为奇数，
  • 对于每1画，我们都会使一个连通量中的2个奇数度点为偶数，
  • 当最后一笔的时候我们必然消除所有的点的度数(包括剩下的两个奇点,因为最后一笔就必然是欧拉路径)。

  • Code:

    #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<=i##_end_;i++)
#define SREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<i##_end_;i++)
#define DREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i>=i##_end_;i--)
#define db double
#define LL long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define Sz(a)sizeof(a)
#define mcl(a,b)memset(a,b,Sz(a))
#define mcp(a,b)memcpy(a,b,Sz(b))
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
template<class T>inline bool chkmin(T&x,T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<class T>inline bool chkmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
inline LL Max(LL x,LL y){return x>y?x:y;}
inline LL Min(LL x,LL y){return x<y?x:y;}
typedef pair<int,int>PII;

#define N 100002

/*
    此题我们可以知道一些性质:
    1.孤立点 -> 0 画
    2.(半)欧拉图 -> 1 画
    3.非(半)欧拉图 -> 奇数度的点个数/2 画
*/

int n,m;
int fa[N];
int degree[N];
int sum[N],cnt[N];
// sum[i]表示该联通量的点数 
// cnt[i]表示该联通量的奇数度点数 

int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}

void Clear(){
    mcl(degree,0);
    mcl(sum,0);
    mcl(cnt,0); 
    REP(i,1,n)fa[i]=i;
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){

        Clear();

        REP(i,1,m){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            degree[x]++,degree[y]++;
            x=find(x),y=find(y);
            if(x!=y)fa[x]=y;
        }

        REP(i,1,n){
            int root=find(i);
            sum[root]++;
            cnt[root]+=(degree[i]&1);
        }
        int ans=0;
        REP(i,1,n){
            if(sum[i]<2)continue;
            ans+=(!cnt[i])?1:(cnt[i]>>1);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

    有关生成欧拉图的方案问题：HDU 5348 MZL’s endless loop

    Description:

    给一个无向图，让你指定边的方向，比如 a→b 为 1，a←b 为 0，在给所有边指定方向后，对无向图上的每个点，如果满足|出度-入度|<2,那么输出任意一种方案。

    Solution:

    • 因为我们要满足条件，
    • 那么就要尽可能有多的欧拉路径，
    • 那么我们就根据入度与出度的大小关系，
    • 进行dfs传递到该欧拉路径中。

    Code:

    #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<=i##_end_;i++)
#define SREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i<i##_end_;i++)
#define DREP(i,f,t)for(int i=(f),i##_end_=(t);i>=i##_end_;i--)
#define db double
#define LL long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define Sz(a)sizeof(a)
#define mcl(a,b)memset(a,b,Sz(a))
#define mcp(a,b)memcpy(a,b,Sz(b))
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
template<class T>inline bool chkmin(T&x,T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<class T>inline bool chkmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
inline LL Max(LL x,LL y){return x>y?x:y;}
inline LL Min(LL x,LL y){return x<y?x:y;}
typedef pair<int,int>PII;

#define N 100002
#define M 300002

int n,m;

int qwq,head[N];
struct edge{
    int to,next;
}E[M<<1];
void addedge(int x,int y){E[qwq]=(edge){y,head[x]};head[x]=qwq++;}

int degree[N],du[2][N];
bool vis[M<<1];
int ans[M];

void Clear(){
    mcl(degree,0);
    mcl(du,0);
    mcl(vis,0);
    qwq=0;
    mcl(head,-1);
    mcl(ans,-1);
}

void dfs(int x,int op){
    for(int &i=head[x];~i;i=E[i].next)if(!vis[i]){
        int y=E[i].to;
        if(y!=x && du[op][y]<du[op^1][y])continue;
        vis[i]=vis[i^1]=1;
        if(i&1)ans[i>>1]=op^1;
        else ans[i>>1]=op;
        du[op][x]++;
        du[op^1][y]++;
        dfs(y,op);
        break;
    }
}

int main(){
    int cas;cin>>cas;
    while(cas--){
        scanf("%d%d",&n,&m);

        Clear();

        SREP(i,0,m){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            degree[x]++,degree[y]++;
            addedge(x,y),addedge(y,x);
        }

        REP(i,1,n) while(du[0][i]+du[1][i]<degree[i]) dfs(i,(du[0][i]<=du[1][i])?0:1);

        SREP(i,0,m)printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

    Summary:

    • 虽说欧拉图是一个比较冷门的考点，但是难起来还是非常玄学的…蒟蒻太菜了
    • 但是为了防冷门，这里还是初学了一些皮毛除了判定，最多再求个方案或算个代价真的没了呀...
C++：实现寻找欧拉路径/回路(附完整源码)
希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题
12-26 447
C++：实现寻找欧拉路径/回路(附完整源码)
欧拉回路/欧拉路径求解，Fleury算法，Hierhoizer算法
qq_43645188的博客
03-01 1382
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欧拉图的判定和求法
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欧拉路径和欧拉回路的路径
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09-18 260
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图的欧拉回路/欧拉路径判断
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05-21 3115
欧拉回路/路径判断方法： 首先图必须是联通的，用并查集判即可 无向图欧拉回路：所有点度数都为偶数 无向图欧拉路径：图中只有两个点(或0个点)度数为奇数 有向图欧拉回路：所有点入度=出度 有向图欧拉路径：一个点入度=出度+1，一个点出度=入度+1（两个端点），其余点(或所有点)入度=出度 无向图 判断是否存在欧拉路径/回路： 利用并查集判断是否联通，利用degree数组统计结点数。 #include &lt;iostream&gt; using namespace
判断欧拉路径
m0_45083094的博客
10-06 2272
判断欧拉路径 能否从无向图中的一个结点出发走出一条道路，每条边恰好经过一次，这样的路线称为欧拉道路，也可形象的称为“一笔画”。 无向图： 如果一个无向图是连通的，且最多只有两个奇点（点的度数是奇数），则一定存在欧拉道路。 如果有两个奇点，则必须从其中一个奇点出发，另一个奇点终止：如果奇点不存在，则可以从任意点出发，最终一定会回到该点（称为欧拉回路）。 有向图： 在忽略边的方向后，图必须是...
判断欧拉路径（非并查集写法）
Tristeza的博客
07-29 1272
目标算法：欧拉路径算法 应用范围：判断是否存在欧拉路径 #include #include #include using namespace std; const int maxn = 105; int degree[maxn]; int map[maxn][maxn]; int vis[maxn]; int n,m; int ans; void init() { mems
C++ 图论算法之欧拉路径、欧拉回路算法（一笔画完）
最新发布
y6123236的专栏
12-15 3013
Hierholzer和Fleury算法的基本思路差不多，在DFS时找环。Fleury使用分段策略，找到一条环后，以环中某一个还存在邻接边的节点重新开始使用DFS找环，直到找到所有环。Hierholzer算法很有技巧性，在回溯时检查节点是否还有邻接边，有则重新DFS直到完毕。
欧拉回路的构建及输出欧拉回路的路径
10-28
这里以构建一个度全部相同的欧拉回路，并输出欧拉回路的路径 1.构建欧拉回路 连通主要是靠树来保证，首先建立一个度为k的完全图，其中会有很多需要主要的地方 （1）首先构造树 =&gt;保证顶点连通 （2）将度的点...
oula.rar_欧拉回路_欧拉图
09-19
欧拉回路与欧拉图是图论中的重要概念，它们在计算机科学，特别是网络算法设计和图遍历中有着广泛的应用。...读者可以通过阅读此文档深入学习欧拉回路和欧拉图的相关知识，进一步提升在图论和算法设计方面的能力。
欧拉图判定（C语言实现）
07-12
用C语言实现对欧拉图的判定，主要分为两个部分：判断每个顶点的度是否为偶数、判断图是否连通。其中，对图连通性的判定使用了Warshall算法。
离散数学实验4：欧拉图的判定并输出所有欧拉（回）路
11-25
实验内容： 对具有n个结点的无向图，判断其能否被一笔画。 实验要求： 对给定n个结点的无向图，进行欧拉图和半欧拉图的判定，若是欧拉图或半欧拉图，则输出所有的欧拉（回）路。
判断欧拉路径和欧拉回路
tosim的博客
09-26 3114
判断欧拉路径和欧拉回路无向图连通欧拉路径：度数为奇数的点有0个或2个欧拉回路：度数为奇数的点有0个有向图连通欧拉路径：有两个点入度不等于出度，其他点入度等于出度，且一个点入度-出度=1，另一个点出度-入度=1，出度大的为起点；或者所有点入度等于出度欧拉回路：所有点入度等于出度判断连通并查集 dfs
(PAT 1126) Eulerian Path (欧拉图/欧拉回路判断)
alex1997222的博客
02-07 451
In graph theory, an Eulerian path is a path in a graph which visits every edge exactly once. Similarly, an Eulerian circuit is an Eulerian path which starts and ends on the same vertex. They were firs...
欧拉回路的判断
掉下个小石头
06-29 3195
华电北风吹 天津大学认知计算与应用重点实验室 2016-06-29欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。判断欧拉路是否存在的方法 有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。 无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都
欧拉路径基本概念与判定
ybC202444的博客
08-12 1352
本文主要讲了关于欧拉通路与欧拉回路的基本判定方法
有向图的欧拉路径和欧拉回路判断
weixin_30815427的博客
07-15 543
#include &lt;cstdio&gt; #include &lt;iostream&gt; #include &lt;queue&gt; using namespace std; int n; int a[101][101]; int indegree[101]; int outdegree[101]; int bfs(); int ans[101][101]; int co...
判断图中是否包含欧拉路径或者欧拉环
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06-16 9321
欧拉路径的定义：对于无向图来说，欧拉路径就是通过每条边有且只有一次，如果遍历的起始点和终止点都是一个顶点的话，那么就说这个图存在欧拉环。 上图中有三个例子，分别是欧拉路径和欧拉环，以及非欧拉路径。那么怎么来判断一个图中是否含有欧拉路径或者欧拉环呢。首先回想一下图的定义，图中有v个顶点，那么着v个顶点中有0个或者两个或者两个以上的顶点度数为奇数。接下来，求欧拉路径就相当于用笔画一个图，笔可
欧拉回路，欧拉通路的判断方法
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04-08 4207
基本定义以及判断方法：图片截取自博客HDU1878——欧拉回路（并查集） 例题1：欧拉回路 代码： //本题为无向图的欧拉回路 //欧拉回路:图连通；图中所有节点度均为偶数 #include&lt;string.h&gt; #include&lt;stdio.h&gt; using namespace std; const int maxn = 1050; int F[maxn], d...
Java实现欧拉回路判定与路径动画显示
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