机器学习入门-线性模型(一)

本文介绍了机器学习中的线性模型,包括线性回归和对数几率回归的基础概念。线性回归通过最小化均方误差来确定模型参数,而对数几率回归则用于二分类任务,通过调整模型参数实现对样本作为正例可能性的预测。文中还提到了实战部分,提供了Logistic回归的实践应用案例。

本次学习的内容是《机器学习》一书中的线性模型这一章节另外这一章节理论性的东西更多,所以还学习了《Machine Learning in Action》中的Logistic回归,实战了一些简单的例子作为互补参考。

代码以及测试用例:
https://github.com/CallMeSp/MachineLearning.git

正文

先说一个数学符号:
arg min f(x) 是指使得函数 f(x) 取得其最小值的所有自变量 x 的集合。比如,函数 cos(x) 在 ±π、±3π、±5π、……处取得最小值(-1),则 argmin cos(x) = {±π, ±3π, ±5π, …}。
如果函数 f(x) 只在一处取得其最小值,则 argmin f(x) 为单点集.

基本形式

给定d个属性描述的示例 x=x1;x2;...;xd) x = ( x 1 ; x 2 ; . . . ; x d ) ,其中xi是x在第i个属性的取值。线性模型试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数,即

<think> 首先,用户的问题是关于“机器学习算法基础中线性模型的相关知识”,具体是要“机器学习算法基础的线性模型介绍”。我需要基于提供的引用来构建回答。 提供的引用包括: - 引用[1]:关于线性回归算法,使用Scikit-Learn实现。 - 引用[2]:关于线性回归算法,定义和目的。 - 引用[3]:关于线性模型中的解析解(闭式解)。 用户说“上述引用仅供参考,并不是用户真正的需求”,所以我不能直接复制粘贴引用内容。我需要参考用户上次的问题和我的回答,但在这个对话中,这是第次交互,所以没有“上次的问题”。用户说“请尽可能多的参考用户上次的问题和你的回答”,但由于这是初始查询,我应该专注于当前问题。 系统级指令要求: - 所有行内数学表达式使用 `$...$` 格式。 - 独立公式使用 `$$...$$` 格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题(在回答末尾)。 - 在回答中引用的段落末尾添加引用标识,如 `[^1]`。 回答结构:需要清晰、逐步解决问题,尽量保证真实可靠。 关键主题:线性模型机器学习中的基础介绍。包括线性回归等。 大纲回答: 1. **引言**:介绍线性模型的基本概念。 2. **核心概念**:解释线性模型是什么,包括监督学习、预测连续值等。 3. **数学基础**:涉及线性方程、损失函数等。 4. **算法实现**:提到Scikit-Learn的使用(基于引用)。 5. **相关知识点**:如解析解(闭式解)。 6. **结束**:生成相关问题。 确保LaTeX正确: - 行内数学:如 `$y = wx + b$` - 独立公式:如 `$$ \min_{w,b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (wx_i + b))^2 $$` 引用标识:当提到引用内容时,在段落末尾加 `[^1]` 等。 现在,构建回答内容: - 开头:定义线性模型- 主体:解释线性回归作为例子(基于引用)。 - 包括数学公式。 - 提到解析解(引用[3])。 - 结束:生成相关问题。 生成相关问题:在末尾,添加“相关问题”部分,列出3-4个相关问题。 最终回答结构: 1. 介绍线性模型。 2. 详细讲解线性回归。 3. 数学推导。 4. 实现代码(可选,基于引用)。 5. 相关问题。 </think> ### 机器学习算法基础:线性模型介绍 线性模型机器学习中最基础且广泛应用的算法类别之,属于监督学习范畴。线性模型的核心思想是通过个或多个自变量(特征)与因变量(标签)之间的线性关系,来预测连续值或分类结果。其目的是找到最佳的线性拟合参数,使预测值与实际值之间的误差最小化[^1][^2]。下面我将逐步介绍线性模型的关键概念、数学基础和实践实现。 #### 1. **线性模型的基本概念** - 线性模型假设特征和标签之间存在线性关系。对于个输入特征向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_p]$,模型的预测输出 $y$ 可以表示为: $$ y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_p x_p + b $$ 其中,$w_i$ 是权重系数(表示每个特征的重要性),$b$ 是偏置项(截距)。在监督学习中,模型通过训练数据学习这些参数。 - 应用场景广泛,包括房价预测、销售预测等连续值预测问题(回归任务),以及通过逻辑函数扩展的分类任务[^2]。 #### 2. **核心算法:线性回归** 线性回归是最典型的线性模型,用于预测连续标签值。目标是找到条“最佳拟合线”,使预测误差最小。 - **数学基础**: - 损失函数:使用最小二乘法(Ordinary Least Squares, OLS)定义误差。对于训练数据集 $\{(\mathbf{x}_i, y_i)\}_{i=1}^{n}$,损失函数为: $$ \min_{w, b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\mathbf{w}^\top \mathbf{x}_i + b))^2 $$ 其中,$\mathbf{w}$ 是权重向量,$b$ 是偏置项。 - 解析解(闭式解):线性回归有封闭形式的解,可以直接通过公式计算最优参数[^3]。例如,权重向量 $\mathbf{w}$ 和偏置项 $b$ 可以通过: $$ \mathbf{w} = (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{y} $$ 其中,$\mathbf{X}$ 是特征矩阵,$\mathbf{y}$ 是标签向量。这避免了迭代优化,提高了效率。 - **实践实现**: - 使用 Python 的 Scikit-Learn 库可以轻松实现线性回归。步骤如下: 1. 导入库并准备数据。 2. 训练模型:调用 `LinearRegression` 类拟合数据。 3. 进行预测。 ```python from sklearn.linear_model import LinearRegression # 假设 x 是特征矩阵,y 是标签向量 model = LinearRegression() model.fit(x, y) # 训练模型 # 对新数据 x_ 进行预测 predictions = model.predict(x_) ``` Scikit-Learn 封装了底层优化,使算法实现简洁高效[^1]。 #### 3. **线性模型的优势和局限** - **优势**: - 简单高效:计算复杂度低,适合大规模数据。 - 可解释性强:权重系数直观反映了特征对标签的影响。 - 解析解存在:对于线性回归,可以直接求解,无需迭代优化[^3]。 - **局限**: - 假设线性关系:如果数据非线性模型性能较差(可通过特征工程或扩展如多项式回归缓解)。 - 对异常值敏感:损失函数基于平方误差,异常值可能扭曲拟合结果。 #### 4. **扩展和变体** 线性模型不仅是回归算法的基础,还可扩展到分类任务: - **逻辑回归**:通过 Sigmoid 函数将线性输出映射到概率值,用于二分类问题。 - **Lasso 和 Ridge 回归**:引入正则化(如 $L1$ 或 $L2$ 惩罚项)防止过拟合。 $$ \min_{w, b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}_i - b)^2 + \lambda \|\mathbf{w}\|_1 $$(Lasso) 其中 $\lambda$ 是正则化系数。 线性模型作为机器学习算法的基石,为初学者提供了理解更复杂模型(如神经网络)的入门路径。通过实际代码实现和数学推导,可以加深对其原理的理解[^1][^2][^3]。 相关问题: 1. 线性回归中的损失函数最小二乘法是如何推导的? 2. 正则化在 Lasso 和 Ridge 回归中的作用是什么? 3. 线性模型如何扩展到多分类问题? 4. 在实际项目中,如何处理线性模型对非线性数据的拟合问题? [^1]: 引用[1]:【机器学习算法】线性回归算法。Scikit-Learn对各类机器学习算法进行了良好封装,对于不同的模型算法,都只需要经过类似的简单三步就可以进行预测。这里我们就以线性回归算法来统进行解释说明。 # 从Scikit-Learn库导入线性模型中的线性回归算法 from sklearn import linear_model # 训练线性回归模型 model = linear_model.LinearRegression() model.fit(x, y) # 进行预测 model.predict(x_) [^2]: 引用[2]:机器学习---线性回归算法。线性回归(Linear Regression) 属于监督学习算法,即有特征有标签. 是种预测分析的统计学方法. 它通过个或者多个自变量(特征)个 因变量(标签)之间的线性关系,来预测连续的值. 目的是找到最佳的拟合回归线,使这条线上的值与实际值之间的误差最小化. [^3]: 引用[3]:机器学习--线性模型。解析解(又称“”闭式解“),是指通过严格的公式所求得的解。即包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。给出解的具体函数形式,从解的表达式中就可以算出任何对应值。解析解为封闭形式的函数,因此对任独立变量,皆可将其代入解析函数求得正确的相依变量。因此,解析解也称为闭式解。
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