HDU3306(矩阵快速幂)

本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定递推序列问题的方法。通过构造特定矩阵并运用快速幂运算,可以高效地求解序列的第n项值。代码实现了矩阵乘法、快速幂等关键操作。

正在死磕矩阵类的题,这个题不是很难,想到构造关于A2n的矩阵就没问题了。
公式给我们了,直接构造矩阵就好了

A2nA2n1AnAn1Sn1=x21x1y20002xy0y00000A2n1A2n2An1An2Sn2

code:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include <set>
#include<time.h>
//a&3==a%4
using namespace std ;
#define ll long long
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 110010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod=10007ll;

struct matrix
{
    ll mat[10][10];//mat[i][j]=第i行第j列
    matrix()
    {
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            for(int j=0;j<10;j++)
            {
                mat[i][j]=0ll;
            }
        }
    }
};

void out(matrix a,int n)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cout<<a.mat[i][j]<<"   ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

matrix multiply(matrix a,matrix b,int n)
{
    matrix res;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod;
                res.mat[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return res;
}

matrix quickmi(matrix a,ll b,int n)
{
    matrix E;
    matrix res;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        E.mat[i][i]=1;
        res.mat[i][i]=1;
    }
    E=multiply(a,E,n);
    while(b>0)
    {
        if(b%2==1)
        {
            res=multiply(res,E,n);
        }
        b=b/2;
        E=multiply(E,E,n);
    }
    return res;
}

int main()
{;
    ll a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c)
    {
        matrix sum;
        sum.mat[0][0]=b*b;sum.mat[0][1]=c*c;sum.mat[0][2]=2*b*c;
        sum.mat[1][0]=1ll;
        sum.mat[2][0]=b;sum.mat[2][2]=c;
        sum.mat[3][0]=1ll;sum.mat[3][3]=1ll;
        if(a==0)
        {
            cout<<1<<endl;
        }
        else if(a==1)
        {
            cout<<2<<endl;
        }
        else
        {
            matrix res=quickmi(sum,a,4);
            ll Res=0;
            for(int i=0;i<4;i++)
            {
                Res=(Res+res.mat[3][i])%mod;
            }
            Res=Res%mod;
            cout<<Res<<endl;
        }

    }
    return 0;
}

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值