生日悖论

  

生日悖论

生日悖论，指如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

  

编辑本段生日悖论的内容

　　著名的生日悖论

　　23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？

　　居然有50%

　　问题是这样的： 如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

　　不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么

　　第一个人的生日是 365选365

　　第二个人的生日是 365选364

　　第三个人的生日是 365选363

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　　第n个人的生日是 365选365-(n-1)

　　所以所有人生日都不相同的概率是：

　　(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】

　　那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：

　　1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】

　　所以当n=23的时候，概率为0.507

　　当n=100的时候，概率为0.9999996

编辑本段理解生日悖论

　　理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生23 × 22/2 = 253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。

　　换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

编辑本段生日悖论的应用

　　生日悖论普遍的应用于检测 哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。

　　生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。