正交矩阵的本质

原创 已于 2022-11-25 23:04:15 修改 · 709 阅读 · 1 ·
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#线性代数

于 2022-11-25 18:34:35 首次发布
博客介绍了正交矩阵和特征值的相关特性。特征值可能部分为1，部分为 -1；正交矩阵的列或行是两两正交的单位向量，这些都是信息技术领域中线性代数的重要内容。

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 其中特征值是可能其中一部分为1，一部分为-1

正交矩阵列或行之间是两两正交的单位向量。

7-9 使用二维数组实现Matrix(矩阵)。
啧啧啧的博客
10-10 2131
使用二维数组实现Matrix(矩阵)。 定义Matrix(矩阵)类，要求如下： a) 变量：matrix(int型二维数组)，row(行数)，column(列数)； b) 方法：实现两个矩阵的乘法，所有方法将返回操作后的结果矩阵。(两个矩阵的乘法：一个m×n的矩阵a（m,n)乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)。矩阵的行数和列数自定。） c) 定义构造方法。 编写主类，测试Matrix类。包括：构建对象，测试每一个方法，并将测试结果输出到屏幕上。 import ja
线性代数基础12--对称矩阵,正定矩阵与快速傅里叶变换
pu_pupupupupu的博客
01-23 4018
1,对称矩阵与正定矩阵 对于实对称矩阵,其特征值都是实数,其不同特征值对应的特征向量相互正交. 所以对于是对称矩阵,其特征矩阵可以用正交矩阵代替,也就是常说的对称矩阵可以用正交矩阵进行相似对角化, 并且Q的逆等于Q的转置. 下面证明为什么特征值一定是实数 上面的横线表示取共轭的意思. 由于A是实数矩阵,所以A的共轭就是其本身. 从上面我们可以得到,实矩阵如果有复数特征值,一定是成对出现的. 对上面的等式做转置,并且左乘或右乘一点东西,就得到了上面结果. 那么现在需要证明x共轭的转置×x不为0,就
Hermite矩阵与正交矩阵-定义及应用
10-22 1万+
Hermite矩阵 Hermite矩阵又称作自共轭矩阵、埃尔米特矩阵。 其定义：Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。 根据上述的定义，可以知道Hermite矩阵的共轭转置矩阵等于其本身。 正交基 简单理解就是在向量空间中找出一个坐标系，这个坐标系就是正交基，在向量空间中的所有向量都可以通过正交基来表示。 标准正交基就是向量的模为1 ...
一般矩阵乘法
perfectzxiny的博客
10-03 838
** 矩阵乘法 ** 矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。 运算方法： 注意事项 1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。 2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。 3、乘积C
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵
Ramble Over The Cloud~
03-31 2万+
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵 在数学中，正规矩阵 是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说， 满足 其中 是 的共轭转置。 如果 是实系数矩阵，那么条件简化为 其中 是 的转置矩阵。 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。 在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔
orldata-and-ONMF.rar_正交矩阵_正交非负矩阵_稀疏_稀疏 正交基_非负矩阵分解
07-13
在IT领域，特别是数据分析、机器学习以及数据挖掘中，正交矩阵和正交非负矩阵分解（Orthogonal Non-negative Matrix Factorization, ONMF）是一种重要的技术。正交矩阵是线性代数中的一个概念，而正交非负矩阵分解则...
【线性代数】线性无关与正交基和正交矩阵
sxl的博客
06-03 3848
  之前在【理解矩阵系列】文章和【理解特征值和特征向量】都提到了线性无关和基的有关概念，并且在后续的学习中出现了概念的混淆或者定义理解不清楚，现在系统的梳理一下。   内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。  1、线性无关的定义：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。   例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)(1, 0, 0)，(0, 1, 0)(1,0,0)，(0,
【线性代数04】投影矩阵P和标准正交矩阵Q
月亮鱼与十四行的博客
08-05 2866
应该指出，垂直关系是一种很不错的关系，本次主要介绍投影矩阵P和标准正交矩阵Q。
矩阵知识：正交矩阵、行列式、子式与代数余子式
kking_edc的博客
06-09 6719
一、正交矩阵 1.1 RnR^nRn的标准正交基 1.1.1 定义1 Rn中的n个向量η1,η2,...,ηn满足:R^n中的n个向量\eta_1,\eta_2,...,\eta_n满足:Rn中的n个向量η1​,η2​,...,ηn​满足: (1)两两正交：ηiTηj=0(i≠0)(1)两两正交：\eta_i^T\eta_j=0(i\ne0)(1)两两正交：ηiT​ηj​=0(i​=0) (2)都是单位向量，即∣∣ηi∣∣=1,i=1,2,...,n(2)都是单位向量，即||\eta_i||=1,i=1,
线性代数系列（十一）--正交矩阵和正交化
Thincor的博客
08-13 2万+
主要内容
Hermite矩阵，正交矩阵，正交基
myc的博客
08-31 1万+
Hermite矩阵 Hermite矩阵又称作自共轭矩阵、埃尔米特矩阵。 其定义：Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。 根据上述的定义，可以知道Hermite矩阵的共轭转置矩阵等于其本身。 补充‘共轭’的定义 复数是有实部与虚部，例如：a=3+2i，其共轭复数表示为a⎯⎯⎯=3−2ia¯=3−2i\overline{a}=3-2i,即保持实部...
矩阵论中的常见概念
子墨的专栏
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学校时候学的线性代数都忘光了，总结一下常用的东西 《1》矩阵的行列式  where In is the n × n identity matrix. For square matrices A and B of equal size,                               for an n × n matrix. If A is a triangular m...
旋转矩阵，矩阵，共轭矩阵
xiaoma_bk的博客
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旋转矩阵1. 旋转矩阵简介 1. 旋转矩阵简介 旋转矩阵维基百科 在线性代数中，旋转矩阵是用于在欧几里得空间中进行旋转的矩阵。例如，使用下面的约定， 矩阵：R=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]R=\begin{bmatrix}cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta)\end{bmatrix}...
线性代数——正交矩阵
DeepWu
11-29 4万+
正交矩阵 orthogonal matrix正交矩阵的定义正交矩阵性质1)AT是正交矩阵2)A的各行是单位向量且两两正交3)A的各列是单位向量且两两正交4)|A|=1或-1 正交矩阵的定义 如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。 正交矩阵性质 1)AT是正交矩阵 2)A的各行是单位向量且两两正交 3)A的各列是单位向量且两两正交 ...
共轭矩阵
weixin_34014277的博客
06-24 8140
共轭方程的导出是建立资料同化模型的关键,其导出方式有两种途径:AFD形式与FDA形式.在特征线计算格式基础上针对一类较广泛海洋动力控制方程分析了其两种共轭方程(AFD形式与FDA形式)之间的关系,并将理论结果应用于波谱共轭方程的讨论. 共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆．例 ...
正交矩阵的定义及证明和性质
linux-0.11调试教程
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共轭矩阵与自共轭矩阵
qq_41473090的博客
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共轭矩阵： 若存在一个方阵A的元素为aij, 那么A的共轭矩阵(A^H )的元素为（aji)^H, 也就是说A矩阵的元素先转置，后取共轭，就可以得到共轭矩阵A^H。 举例子：A为【【3+i，2，1-2i】， 【6-i，4-i，3-2i】， 【7+i，4，1+2i】】， 那么A^H为【【3-i，6+i，7-i】， 【2，4+i，4】， 【1+2i，3+2i，1-2i】】。 自共轭矩阵： 别名：...
正交矩阵（Orthogonal Matrix）
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MyArrow的专栏
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1. 定义     正交矩阵: Orthogonal Matrix      &space;A^{-1}=A^{T}" target="_blank">&space;A^{-1}=A^{T}" title="A^T A=AA^T =I => A^{-1}=A^{T}" alt="">     2. 特征     1） 所有的列向量都是单位正交向量     2） 所有的行向量都是单位正
正交矩阵
最新发布
03-12
### 正交矩阵的定义 在矩阵理论中，正交矩阵是一个方阵 \( Q \)，如果该矩阵与其转置矩阵的乘积等于单位矩阵，则称为正交矩阵。即： \[ QQ^T = Q^TQ = I \] 这里 \( Q^T \) 表示矩阵 \( Q \) 的转置[^2]。 ### 性质 #### 单位长度和正交性 正交矩阵中的每一列都是单位向量，并且任意两列之间的内积为零。这意味着不同列之间彼此垂直（正交），并且每列的模长均为1[^3]。 #### 保持距离不变 当使用正交变换时，它不会改变任何两点间的欧几里得距离。因此，在几何上讲，这种变化只涉及到旋转和平移操作而不引起缩放效应[^4]。 #### 特征值与特征向量 对于实数域内的正交矩阵而言，所有的特征值绝对值都为1；而且对应的特征向量也形成一组标准正交基底[^5]。 ```python import numpy as np def is_orthogonal(matrix): """判断给定矩阵是否为正交矩阵""" identity_matrix = np.eye(len(matrix)) return np.allclose(np.dot(matrix, matrix.T), identity_matrix) # 测试例子 matrix_example = [[0, -1], [1, 0]] print(is_orthogonal(matrix_example)) # 输出应为 True 或 False 取决于输入矩阵属性 ``` ### 应用场景 #### 数据处理领域 - **降维算法**：如主成分分析(PCA)，其中通过寻找数据的最佳低维度表示来减少冗余并提高效率。 #### 计算机图形学 - **三维建模软件** 和 游戏引擎 中用于实现物体绕轴转动的效果模拟。 #### 数字信号处理(DSP) - 实现滤波器设计、频谱估计等功能时会利用到快速傅立叶变换(FFT)背后的蝶形运算原理，这本质上也是一种基于复数形式下的广义正交变换过程[^6]。
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