【线性代数】线性无关与正交基和正交矩阵

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#线性代数 #矩阵

于 2022-06-03 11:25:47 首次发布

本文深入探讨了线性无关、基和正交基的概念，强调了正交矩阵的重要性。正交矩阵的定义是其转置的逆矩阵等于自身，其列向量构成规范正交基。通过施密特正交法，可以将非规范正交基转换为规范正交基，实现矩阵的对角化。正交矩阵在几何上表示为摆歪的立方体，对角化过程相当于将其摆正。

1 前言

之前在【理解矩阵系列】文章和【理解特征值和特征向量】都提到了线性无关和基的有关概念，并且在后续的学习中出现了概念的混淆或者定义理解不清楚，现在系统的梳理一下。
内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。

2 定义

1、线性无关的定义：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量 $(1, 0, 0) ， (0, 1, 0)$ 和 $(0, 0, 1)$ 线性无关；但 $(2, - 1, 1) ， (1, 0, 1)$ 和 $(3, - 1, 2)$ 线性相关，因为第三个是前两个的和。
2、基：基(Basis)是一组线性独立的向量(集合)，通过对它们的线性组合，可组合成空间中的任何元素(Span)。即基是线性无关的。
3、正交基：检验 $2$ 个向量是否正交，就看它们的内积是否为 $0$ 。正交基就是每个向量彼此正交。
注意：基不能平行，需要相交，并不强制要正交，但是正交的基特别香，单位长度的正交基最香，即标准正交基。
关系：一组向量线性无关就可以作为一组基，但是这组基不一定正交，一定不会平行。但是实对称矩阵的特征向量一定正交。

3 正交矩阵

3.1 定义

满足 $A^TA=I$ 的矩阵称为正交矩阵。
假设 $A$ 是一个列向量矩阵，根据定义:
$A^{T} A=\left[\begin{array}{c} \alpha_{1}^{T} \\ \alpha_{2}^{T} \\ \alpha_{3}^{T} \\ \vdots \\ \alpha_{n}^{T} \end{array}\right]\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots \cdot \alpha_{n}\right]=I$