51nod-1116 K进制下的大数_51nod 1116-优快云博客

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本文介绍了一种寻找给定字符串所表示的大数在何种K进制下为K-1倍数的方法。通过两种策略——暴力枚举与数学理论简化，解决了问题并提供了C++实现代码。

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1116 K进制下的大数

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

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有一个字符串S，记录了一个大数，但不知这个大数是多少进制的，只知道这个数在K进制下是K - 1的倍数。现在由你来求出这个最小的进制K。

例如：给出的数是A1A，有A则最少也是11进制，然后发现A1A在22进制下等于4872,4872 mod 21 = 0，并且22是最小的，因此输出k = 22(大数的表示中A对应10，Z对应35)。

Input

输入大数对应的字符串S。S的长度小于10^5。

Output

输出对应的进制K，如果在2 - 36范围内没有找到对应的解，则输出No Solution。

Input示例

A1A

Output示例

思路：暴力 / 数论

一,暴力：由于 K在 2~36范围内， S长度<10^5 则可以直接暴力，时间复杂度为 O(K*S)

二，数论：由 k %(k-1)=1

可知 k^n %(k-1)=1 所以 (S[i]*k^n) %(k-1)=S[i]%(k-1)

S mod(K-1)
=(S[0]*K^n+S[1]*K^(n-1)+...+S[n-1]*K^0) mod(K-1)
=(S[0]+S[1]+...+S[n-1]) mod(k-1)

Code 1:

//暴力 。。 
#include<iostream>
using namespace std;

const int MAX_N=100005;
string str;
int a[MAX_N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>str;
	int k=0;
	for(int i=0;i<str.size();++i)
	{
		a[i]=(str[i]>='0'&&str[i]<='9')?str[i]-'0':str[i]-'A'+10;
		k=max(k,a[i]);
	}
	int ans=0;
	for(k+=1;k<=36;++k)
	{
		int MOD=k-1,sum=0;
		for(int i=str.size()-1,p=1;i>=0;p=p*k%MOD,--i)
			sum=(sum+a[i]*p)%MOD;
		if(!sum){
			ans=k;	break;
		}
	}
	if(ans)	cout<<ans<<endl;
	else	cout<<"No Solution"<<endl;
	return 0;
}

Code 2:

#include<iostream>
using namespace std;

string str;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>str;
	int k=0,sum=0;
	for(int i=0,x;i<str.size();++i)
	{
		x=(str[i]>='0'&&str[i]<='9')?str[i]-'0':str[i]-'A'+10;
		k=max(k,x);	sum+=x;
	}
	int ans=0;
	for(k+=1;k<=36;++k)
		if(sum%(k-1)==0){
			ans=k;	break;
		}
	if(ans)	cout<<ans<<endl;
	else	cout<<"No Solution"<<endl;
	return 0;
}