什么是相机模型？又如何实现单目测距？详细公式推导！

作者 | Misaka  编辑 | 汽车人

原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/626913010

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1：相机模型

坐标系

相机模型中存在4种坐标系，像素坐标系，图像坐标系，相机坐标系，世界坐标系；相机坐标系一般以相机光心作为原点 ，光心在成像平面的投影即图像坐标系的中心，也就是图像坐标系的原点 o ，连接图像坐标系原点和光心形成光轴 。

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/qq_32335687/article/details/100130861

世界坐标系转换为相机坐标系：通过坐标系旋转平移实现，世界坐标系分别绕X/Y/Z三轴旋转，再平移。

以绕Z轴旋转为例：

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/LINEAR1024/article/details/104956774

可得绕 Z 轴旋转 ：

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

同理绕 Y 轴旋转 ：

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

同理绕 X 轴旋转 ：

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

旋转矩阵：R=

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

相机坐标系转换为图像坐标系：相似三角形原理。

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

其中：f表示相机焦距

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

图像坐标系转换为像素坐标系：图像坐标系单位mm，坐标系原点在光轴和成像平面交点，但像素坐标系是度量单位pixel，原点在左上角顶点。

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38842821/article/details/125933604

式中：和 分别表示一个pixel分别在 x 和 y 轴方向代表多少mm。

综上所述，像素坐标系和世界坐标系转换总公式：

图片出处：https://blog.youkuaiyun.com/qq_32335687/article/details/100130861

相机内参影响从相机坐标系到像素坐标系的转换，相机外参影响世界坐标系到相机坐标系的转换。从上述公式可知，在不选定基准平面的前提下，单目相机无法将像素坐标系二维点转换到世界坐标系三维点，因为 值不知道，  值是从三维点逆推获得的，单如果假定点在基准平面上，可以从二维点获得三维点。

1：单目测距

本质上单目测距利用的是相似三角形，查阅资料得到以下两种常见的方法，以下两种方法都有设定基准平面，在相机标定时，棋盘格是放置在水平面，如下图所示：

图片来源：《Vision-based Vehicle Speed Estimation: ASurvey》

方法1

图片来源：《Robust Range Estimation with a Monocular Camera forVision-Based Forward Collision Warning System》

方法2

图片来源：https://avoid.overfit.cn/post/2b0cf726ab524a23bea492f08ae9b3d6

3：思考

在工作中遇到一个问题，在一张图像中，假设检测器只能检测到人的脑袋，如何根据脑袋位置大致估算出脚在图像中的位置，除了简单的按照人头和人身体的先验比例，探讨用相机模型的方法是否可以实现。开始的想法是先将人头检测框上边线中点坐标还原到世界坐标系，选地面作为基准坐标系，粗略的认为在世界坐标系中，头和脚的和 是一致的，脚在地面，=0这样就可以通过公式将脚还原到图像坐标系，但通过前面2节的分析发现，就算指定地面为基准平面，相机的内参和外参，相机架设高度，架设角度全部知道，也无法通过人头位置还原出人脚位置，因为像素坐标系人头顶的位置无法还原到世界坐标系，除非给人设定一个先验身高。

如果给定一个先验身高，人头顶点的 就可以计算出来，三个未知数，三个方程，就可以解出三维点坐标。

或者按照单目测距相似三角形方法，如上图所示，abc平面为图像坐标系平面，问题转化为求ac，b为光点在成像平面投影，相机内参已知是可以确定的，a点可以确定，因此：

简易建模

如果不使用相机模型：根据人头顶点像素点坐标(x,y)和人体高度的先验数据，拟合出 y 和人体高度的关系曲线，大家有好的方法欢迎留言讨论！！

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