JAVA-爬楼梯

这篇博客探讨了一道关于走楼梯问题的JAVA编程题,即10级台阶,每次可以走1级或2级,计算有多少种不同的走法。文章介绍了三种解法:常规迭代算法、采用缓存降低时间复杂度的解法以及使用自底向上算法降低空间复杂度的解法,并对每种解法的时间和空间复杂度进行了分析。

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题目:

有一座高度是10级台阶的楼梯,从下往上走,每跨一步只能向上1级或者2级台阶,要求用程序来求出一共有多少种走法?

例子,每次走1级台阶,一共走10级台阶,这是其中一种走法,我们可以简写成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

解题思路:

假设你只差最后一步走到10级台阶,这时候会出现几种情况?
这时只会出现两种情况,

  • 第一种:最后一步走1级台阶,第一种情况对应的是已经走到了第9级台阶
  • 第二种:最后一步走2级台阶,第二种情况对应的是已经走到了第8级台阶

此时并不具体考虑如何走到第9或者第8级台阶的

假设走到第10级台阶的走法有F(10)
则走到第9级台阶的走法有F(9)
则走到第8级台阶的走法有F(8)
则F(10)=F(9)+F(8)
由题意可知
F(1)=1
F(2)=2

解法一:常规的迭代算法

public static int getClimbingWays(int n) {
        if (n < 1) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        return getClimbingWays(n - 1) + getClimbingWays(n - 2);
    }

存在的问题:

此计算过程类似一颗二叉树,顶点是F(10),左右子节点是F(9)和F(8),依次计算下去,这个二叉树层高10-1,节点个数2^10-1,
时间复杂度近似O(2^n)
这一颗计算二叉树中有许多重复的计算部分, 在这里插入图片描述
这些重复的部分事实上我们可以采用缓存将其保存起来

解法二:采用缓存的方式,以降低时间复杂度

具体实现如下:

public static int getClimbingWaysCache(int n, HashMap<Integer, Integer> map) {
        if (n < 1) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        if (map.containsKey(n)) {
            return map.get(n);
        } else {
            Integer value = getClimbingWays(n - 1) + getClimbingWays(n - 2);
            map.put(n, value);
            return value;
        }
    }

在以上代码中,集合map是一个缓存。当每次需要计算F(N)的时候,会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在,就直接返回结果,如果map中不存在,就计算出结果,存入缓存中。
此时时间复杂度:O(n),需要计算F(10),F(9),。。。这些数字
此时空间复杂度:O(n),需要保存F(10),F(9),.。。。F(3),由于F(1)和F(2)都是已知的不需要缓存在备忘录中

问题

这种方法中所需要的空间复杂度为O(n),这种计算方法采用的自顶向下的计算方式,所以必须保存每次计算的结果,以便后期取用。如何降低空间复杂度?

解法三:采用自底向上算法,以降低空间复杂度

实现

 public static int getClimbingCacheCacheImp(int n) {
        if (n < 1) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int a = 1;
        int b = 2;
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = a+b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return temp;
    }

程序从 i=3 开始迭代,一直到 i=n 结束。每一次迭代,都会计算出多一级台阶的走法数量。迭代过程中只需保留两个临时变量a和b,分别代表了上一次和上上次迭代的结果,最后的结果由temp保存。
此时时间复杂度:O(n),需要计算F(10),F(9),。。。这些数字
此时空间复杂度:O(1),需要保存a,b,temp,所需空间为3(常量)

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