【图论】最小生成树与Prim、Kruskal算法

求图的最小生成树的Prim、Kruscal算法，其实都是由最小生成树的性质推来的，掌握了该性质，便能较容易地推导出这两种算法。

最小生成树的性质

无向图G的顶点集为$V$，设$U$为$V$的真子集，$u\in U$，$v\in (V-U)$，边u-v是连通$U$、的所有边中权重最小的一条，则边u-v一定在G的最小生成树（MST）中。
反证法证明：假设T是一个MST，边u-v不在该MST中，先把它加入到T，则出现包含该边的环；T中必存在另一条边$u^{\prime }-v^{\prime }$，连接题中两个集合，删除它后，环消失，出现新的MST，并且比原MST的权重更小，矛盾。

Prim算法

思路就是任取一个顶点作为初始U，不断寻找连接两个子集的所有边中权重最小的一条，把此边在$V-U$上的顶点移到$U$，重复这个操作，直至U包含全部顶点。

Kruscal算法

直接将所有边按权重排序，从小到大，每次尝试添加一条到MST，如果加入后没有产生环就加入该边，否则跳过。

松弛操作

两种算法都用了求最值问题的松弛操作思路，相似的例子，求K个已排序数组的最短公共区间，该区间包含每个数组至少一个元素，初始化选择各个数组首个元素组成集合的最小最大值，然后松弛，选择最小值所在数组向右取元素，更新区间。

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